5-^. Riflessioni 



xdz 7— = clxcp.x 



ax 



dz — xdx = dx(j>'.x . 



X* 



La feconda equazione integrata mi dà 2:= — f- cp.x , ove tra- 



lafcio la coflante, perchè è contenuta in <p.x . Si foftituifca 

 nella prima quefto valore di z., ed ella diventerà 

 dx\^(x^ -\-X'j>'.x — (p.x)t=dj', onde integrando fi ricava 

 jz^J^dx\/{x'-\-X(t.'.x — <i>.x)-]-c. Quindi 1' integrale finito 

 della propella è efpreiro dalle due equazioni 



2'Z=. X^ -]- -Kf.X . .. 



}f:=::J^dx^ (X' -{-Xip^X — (|)..v)-f-f. 



Prendiamo per fecondo efempio l'equazione 

 xz.d'z.-Jt-x/dy-\-xdz.'-\-xdj''+j'zdxdz.±;''dxdj-i-x(i+J'}dx'=o . 

 Folta x coftante, quella equazione diyifa per x diventa 

 zd':;.-\-}'dy ■-]- dz.' -[-dj^ =^ o , e quindi abbiamo integrando 

 ■z.dz.-\-jydj'=zdx^'.x . Diflerenziamo quefta equazione facendo 

 variare anche la ^' , e paragonando il refultato con la pro- 

 pofta otterremo fzdz. -\-y^dy -\r-xii -\-y ) dx + xdx^^'.x = o . 

 Quindi r integrale primo della propella è efpreflb dalle due 

 equazioni limultanee 



zJz. -\~fdf = dx(p'. X 



yx.dz. -\-y^dy -\-x{\ -f-/ ) dx -]- xdx^''.x = o . 

 Per paflare adeffo all' integrale finito, ofTervo che foflituito 

 il valore di dz. ricavato dalla prima equazione nella fecon- 

 da , fparifcono da quefta i differenziali , e diventa 

 yip'x + X ( i +y) +x<p".x=zo . Inoltre la prima equazione è 

 da per fé fteffa integrabile, e ci dà z.^ -\~j'' z= z(p.x: quindi 

 l'integrale finito della propofta è efpreffo dalle due equazioni 



z'~\-y' = 2(t>-x 



y ( (p'.x -\-x)-{-x( (p".x 4- I ) = o . 

 In quefta feconda equazione fvanirà la y k farò q)'.x + x=:o , 



o fia $..v = \-a: ma quefta medefima fuppofizione dan- 



2 



domi (p".x~\~ 1 = toglie di mezzo ia feconda equazione. 

 Rimane la fola; equazione z^ -]-y' -^x' = a , che foddisfa 

 alla propofta : dunque efla ammette un integrale efprefto da 

 una fola equazione, ma quefto integrale è particolare, per- 

 chè contiene una fola coftante. 



