53^ Riflessioni 



una equazione tra tre variabili , hi quale non foddisfaccia ai 

 criteri d'integrabilità, effu ammetterà fempre un folo inte- 

 grale primo efpreilb in due equazioni , e contenente una fun- 

 zione arbitraria, quantunque queflo integrale pofla prefentarfi 

 fotte varie forme tra loro rìiverfe. Trovato l'integrale pri- 

 mo, il fiftema delle due equazioni, end' è comporto, foddisfa- 

 rà fempre alle condizioni d'integrabilità, e la ricerca degli 

 integrali inferiori dipenderà da' metodi ordinarj. Onde gl'in- 

 tegrali di tutti gli ordini non conterranno, che quella fola 

 funzione arbitraria che è nel primo. Se le variabili fono più 

 di tre, il numero dell'equazioni, che compongono l'integra-- 

 le primo, e quello delle funzioni arbitrarie, lì può rilevare 

 da ciò che abbiamo detto per l'equazioni del prim' ordine. 



ARTICOLOIV. 



Deir equazioni del fecond' ordine , nelle quali 

 ninno elemento e fuppojìo cojìante , 



XII. Abbiamo iìn qui fuppofla dx coflante, conllderia- 

 mo adeifo quell' equazioni , nelle quali niuno elemento lia 

 fuppofto coftante . Data l'equazione del fecond' ordine 



Pd'y ^i- ^d\x -f Rdy + Sdxdj -]- Tdx' = o 

 tra le due variabili x ed/, nella quale niun difi'erenziale 

 primo (impone collante, ftabilifcono i Geometri, che quefla 

 equazione è afllirda , cioè non lignifica niente, e non am- 

 mette integrale completo, che quando Pdy -\-§ldx:=zQ e una 

 equazione identica. Se poi l'equazione Tdj -\-^dx = o non 

 eiiendo identica, foddisfà però alla propofta , ne è un inte- 

 grale, ma particolare, perchè non contiene alcuna coftante 

 arbitraria. Pure vedremo adefTo , che quell'equazione è fem- 

 pre reale, ed ammette un integrale alcune volte efpreilò in 

 una fola equazione, per lo pili in due. L'errore di crederla 

 aflurda è nato dal fupporre, che fìccome nell'equazione dif- 

 ferenziala non vi fono che le due variabili x ed j' , così le 

 medefime fole variabili debbano aver luogo nell' integrale. 

 Eppure è ovvio il caio, in cui non avendo luogo nell'equa- 

 zione differenziale che la fola variabile/, nell'integrale però 

 entra ancora uu' altea variabile :v, che vien dalla differenzia- 



