sull'integrazione ecc. 5:51 



Itione eliminata. Perche k Te P fono due funzioni di/, 

 data l'equazione Fd'T-==o^ fi ftabilifce clie abbia luogo in 

 cfTa un'altra variabile at, di cui il dilìerenziale primo fia fla- 

 to fupporto colante , e lì trova 1' integrale priaio di quell' 

 equazione edere dT=-adx , e l'integrale finito '£=-ax-\-b . 

 Così fé farà data l'equazione Md{Pdx-\-^dy)=.o, ove 

 M^F, t ^ fono fiinzioni di x ed/, e nel diil'erenziare la 

 (]uantità Pdx + ^d/ niuno elemento fi fuppone coltante , avrà 

 luogo nel problema , che ha condotto a quella equazione , 

 un'altra variabile », di cui il difl'erenziale primo farà colan- 

 te. Quindi l'integrale primo della propoda iark 



Pdx -\- ^dj> = adii 

 ove .7 e una coftante arbitraria. Per pafTare all' integrale fi- 

 nito convien notare due cali; 1.° fé Pdx-if-^^d/ e; una dif- 

 ferenziale efatta, di cui l'integrale lia R, avremo integran- 

 do di nuovo 



ed in quefto cafo foddisfarà al problema una fuperfìcie : 2.* 

 fé Pdx-\-^d^ non e una differenziale efatta, (ia N il fatto- 

 re che la rende tale, ed allora T integrale finito della pro- 

 pofla farà efpreffo dalle due equazioni 

 fN ( Pdx -J- ^d/ ) = <p.u 

 iìNz=:.q'.u 

 cioè foddisfarà al problema una curva di doppia curvatura > 

 Lifleffo avrà luogo nell'equazioni della forma A/^'P = o ^ 

 qualunque lia il numero delle variabili in effe contenute^ 

 delle quali l'integrale primo farà dP^adu, e l'integrale fi- 

 nito farà efpreflo da una o pili equazioni, che li troveran- 

 no con i metodi efpofli nel primo e nel fecondo articolo. 

 Sia data per efempio l'equazione 



j''zd'z -\-_y'dz.^ +j'dxdj' + xjdy - xdy +}''dxdx ■hj'^zd'x = o 

 Dividendola per 7' tro\'eremo il fuo integrale primo eflere 



z.dz. ~4- '- — - -|- zdx = adu . 



y 



Siccome queda equazione non foddisfà ai criterj d'integrabi- 

 lità, applicandovi i metodi dell'art. I. vedremo il di lei in- 

 tegrale efler rapprefentato dalle tre equazioni 



X X X i i 



