532 Riflessioni 



J,'4--''^" log. / =: Cp ( A- , U). 



La terza ci dà (t' = 2i3«-{- v^.at, e foftituito queflo valore di 

 <p nelle altre due effe diventeranno 



2 log,/ 22: 1= ij-'""^ 



e formeranno 1' integrale finito completo della precedente 

 equazione del fccond' ordine . Infatti fé difTerenziamo la pri- 

 ma di quefi;' equazioni due volte fuppofta du coflante , e vi 

 fofiituiamo i valori di -^'.x, e -^".x prefi dalia feconda, ne 

 nafcerà la medefima equazione propofta . 



XIII. Confideriamo adeflb l'equazione generale 

 Pdy-^^d'x-^Kd/-\-Sdxdj'-}-Tdx'=io, 

 e fé efTa non farà riducibile alla forma Md {Pdx + ^dj>)=zo ^ 

 le due equazioni che ne formano 1' integrale primo , il tro- 

 veranno nel modo feguente. Facciamo N{Pdj^-\-^dx)=du<p.u , 

 e differenziando quefta equazione nell'ipotelì di du coffante, 

 paragoniamone il refultato con la propofta, ed avremo 

 djd.NP + dxd.N§, ^ NRdr — NSdxdf — NTdx' = dn'<p\u , e 

 quindi le due equazioni 



NPd}' -I- N^dx =z du<p.u 



djd.NP + dxd.N^^ — N( Sdxdy -{- Tdx' -j- Rdy ) = dit'(p'.ti 

 formeranno l'integrale primo della propofta , com'è facile 

 di verificare mediante la differenziazione . La ricerca dell' 

 integrale finito dipenderà dai metodi ordinari ; ma qui fi 

 oliervi che la quantità N è pienamente rilafciata al noftro 

 .arbitrio, e perciò poffiamo prenderla in modo da render 

 più facile quefla feconda integrazione . Prendiamo dunque 

 per N il moltiplicatore che rende la quantità Pdy -\- ^dx 

 una differenziale efatta, e in tal guifa fi renderà integrabile 

 la prima di queft' equazioni . E' facile il vedere come fi 

 debba operare, fé 1' equazioni propofle conterranno più di 

 .du§ variabili . 



Sia data per efempio i' equazione 



x'd'x 4" xydy — ydx' 4- x'dy -j- a'dx' =s o . 



