Trigonometriche. 21 



§. XL 



Sommare ogni ferie di Seni d' archi in progrejfions arit- 

 metica . 



Sia la ferie generaliflìma fen.^ -f fen. (/^+Bj -l-fen.(^-i-2B) 



-J-fen.(^+;'5) , di cui lì dimanda la fomma . E poiché 



è notilFimo che ( Trig. Tav. Il , form. 23 ) 



cof. (A - \B) — COI". {A + ~B) = 2 len.lB fen.^ 



cof. (A -f ÌB) — cof. (A +1B) = 2 fen.^B fen. (A + B) 



cof (A-h-B) — cof. (A + {B) = 2 fen.^S fcn. (A + 2B) 



fé fi piglia la fomma di quefte tre equazioni , fi ha 



cof (^-ìB) - cof.(A^.-{B)=z kn.^^Bain.Ai-kD.(AiB)i-ka.(Ai-tB)) : 



Or fi noti, che qui efTendo pz=i^ riefce -B=z— B. E 



poiché per qualunque valore di /» , è manifefto che fempre 



il fecondo termine del primo membro ammette per 



2 



coefficiente di B , rifulta 



cof (^- tB)-cof (^+ '-^B) 



n./^i-fen.(y4+B)+fen.(^-;-2B}....-:-fen.(^+&B)= — 



2 fen.^B 



knl'—Bkn.iA+^pB) 

 2 



fen.iB 

 Se la ferie è infinita, cof ^^H B) fparifce , poi- 

 ché cof {A-\-\B-\-pB) = coL{A-\-\B) cof.pB — fen. (A+{B) 

 fca.pB; li quali due termini fi dileguano, per non effere af- 

 fegnabili il cofeno ed il feno dell'arco infinito pB: laonde 



:n.il-|-fen.(/{+B)-Hfen.(y4+2B;+ecc. all'infinito = ^°^' ^^^~^ K 



2 fen.-B 



Che fé yi = B , farà 

 'en.B-f fen.2B-[-fen.3B-}-ecc. all'infinito =:^cot.^B. 



Si noti , il che fembra fuggito ad altri , che quando la 

 progreHione foffe decrefcente , le ftclfe formule nulla meno 

 varrebbero facendovi B negativo. E ciò bafti detto una volta. 



