ED ALLA DIVISIONE AlCEBRAICHE. 4S9 



Sieno li A B (Fig. 3.) due grandezze eterogenee; e le 

 A B con vario ordine moltiplicandoli infieme producano le 

 due grandezze CD; cioè 1' A moltiplicando la B produca la 

 C; poi la B moltiplicando VA produca la D. Dico primie- 

 ramente che le C P fono omogenee alle A B, una all'altra, 

 cioè la C omogenea alla B , e la D all' A. 



Imperocché poiché VA moltiplicando la B ha prodotto 

 la C; quindi omogenea farà la C alla B ($. Vili. ). Di nuo- 

 vo poiché la B moltiplicando 1' A ha prodotto la D ; quin- 

 di omogenea l'ara la D all' A. Elleno fono adunque le due 

 D C omogenee alle A B, l'una all'altra. Dico in oltre che 

 le D C alle loro unità concrete hanno la medefima propor- 

 zione. Imperocché Ila VE l'unità concreta delle A D^eVF 

 quella delle B C. Dico che come la D all'È, così è la C 

 all'i^. Imperocché poiché VA moltiplicando la B ha prodot- 

 to la C ; quindi farà ( §. IV. ) come 1' E all' A, cosi la B 

 allaC. Di nuovo poiché I3 B moltiplicando VA ha prodotto 

 la D ; quindi farà ( §. IV. ) come 1' F alla B , cosi la 

 A alla D. Poiché dunque egli è come 1' E all' A, così la 

 B alla C ; e come 1' A alla D, così I' F alla B; quindi per 

 uguaglianza perturbata farà come 1' E alla D, così 1' F alla 

 C; laonde contrariamente egli è come la D all' E, cosi la 

 C all' F; il che convenia dimoftrare. 



5' XIII. 



Unendo infieme i due teoremi antecedenti potremo dun- 

 que conchiudere, che fé due grandezze, di qualunque genere 

 lìa ciafcuna di efle , con vario ordine moltiplicandoli inlieme 

 producano due grandezze; quelle faranno o uguali fra loro, 

 o proporzionali alle loro unità concrete. 



§. XIV. 



"^oljìo, queir nciitillimo e celebre Scrittore d' Elementi, 

 cadde elfo pure nell'errore di credere, che due grandezze 

 ( fieno elle o omogenee ovvero eterogenee ) moltiplicandofi 

 fra loro producano la fiefi'a grandezza; e di più volle darne 



To/no VII. Qjì^l 



