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però un facile pafTaggio , ed è quello d' intendere cangiato il 

 numero a/ìratto che rapprefenta la grandezza in un numero 

 concreto avente per unità concreta quella della grandezza me- 

 delìma; il che fi dimoftra colle parole, pronunziando dopo il 

 numero aflratto il nome di efla unità concreta. In quello 

 modo fé intenderò cangiato il numero aftratto 3. nel con- 

 creto 3. libbre, pallerò dalla rapprefentazione all' uguaglian- 

 za , e potrò aderire che il fuddetto pefo è uguale a tre lib- 

 bre . L' efpofta difinizione è la vera chiave per dimoftrare 

 tutte le regole ufate dai pratici nel calcolare le figure pia- 

 ne e le Iblide , come a fuo luogo vedremo. Per ora conten- 

 tiamoci di conofcere la caratterifiica proprietà delle grandez- 

 ze eterogenee proporzionali alle loro unità concrete , il che 

 ci verrà indicato da quefto teorema. 



§. XVI. 



he grandex.'ze eterogenee proporz.ionali alle loro unita con- 

 crete fono rapprefentate dallo Jìejjb numero . 



Sieno le grandezze eterogenee A B ( Figg. 4 , 5,6 ) le 

 cui unità concrete fieno le C jD , la C dell' ^ , e la D della 

 B ; e fia come VA alla C, così la B alla D. Dico che lo 

 fteffo numero rapprefenterà l'una e l'altra delle A E. 



Imperocché o le ^ B fono commenfurabili alle C D o 

 no . Sieno primieramente commenfurabili . E poiché 1' A 

 alla C è commenfurabile ( Fig. 4. ); quindi una dell' altra 

 farà o parte o parti. Sia primieramente la C parte dell' A ; 

 e quante volte la C mifura VA tante unità fieno nel nume- 

 ro E. Sia poi V F l'unità aftratta . E poiché la C milura 

 VA per r unità attratte che fono nell' E; e ancora 1' unità 

 attratta F mifura r £ per l'unità attratte che fono in etto ; quindi 

 egli è come r F all'È cosila Cali' ^ ; laonde ($. XV. ) il numero 

 E rapprefenta la grandezza A. Di nuovo poiché fia come l'F 

 all'È, così làCzWA; e come laC all' ^, così è per fuppofi- 

 zionelaZ) alla B; quindi ancora come l'F all' E, così è la 

 Dalla B: e però ($. XV. ) il numero E rapprefenta la grandez- 

 za B. Ma etto numero E rapprefenta pure la grandezza A. 

 Dunque VE rapprefenta una e l'altra grandezza AB. Sia ora 

 la C parti dell' A ( Fig. 5. ); s dividafi 1' A nelle fae 



