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MEMORIA 



SOPRA LE SOLUZIONI PARTICOLARI 

 DELLE EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE 



Del Sic. Vincenzo Brunacci 

 Ricevuta li 27 Ottobre 1808. 



vJoine per le equazioni difFerenziali, cosi per quelle alle dif- 

 ferenze non si può conoscere a fondo la natura dei loro inte- 

 grali , senza una completa dottrina delle Soluzioni particolari. 

 La-Grange ha soddisfatto a questa ricerca per le prime equa- 

 zioni , ed io procurerò di soddisfarvi in qualche parte per le 

 seconde , non essendomi noto che alcuno siasene quasi (a) oc- 

 cupato fin' ora . Questo soggetto lo tratterò in più Memorie , 

 delie quali la presente è la prima . 



^. I. Incomincio dalle equazioni di primo ordine . Sia l'e- 

 quazione alle differenze F(x,y,Ay)=:c, ed abbia questa 

 per integrale (p { x ,y , a) = o , essendo a una costante arbi- 

 traria . Si sa che quell' equazione alle differenze può sempre 

 riguardarsi come il risultato dall'eliminazione della costante 

 per mezzo di queste due equazioni 

 (I) .... ^ {x,y,a ) = o 

 (K) . . . . rp{x-hi,y-^Ay,a) = c, 

 l'aumento di x essendo i . 



Supponiamo che la a divenga variabile, ma la sua varia- 

 bilità sia talCj che i termini da essa introdotti si annullino 

 da sé medesimi: allora l'equazione (^(x,j, a) = o continuerà 

 a soddisfare alla differenziale F {x,y, Ay) = o, e ne sarà una 

 soluzione particolare . Ecco come potremo trovare quel valo- 

 re di a . 



Nell'Ipotesi assunta della variabilità di %, si ha 

 (p {x -i- i ,y ■+■ Ay , a ■+■ Aa ) = o , 



(o) Si veda il Corso di Matematica sublime , Tomo I , pag. iSg, 



