iijG Sopra le Soluzioni Particolari ec. 



ovvero 



(,)....^(.^,,r-A/,-KA.<(|-t)+-J:.(|lt)^ec.| = . 



nella quale (p tiene il luogo di (p {x -^ i , 7 -t- Aj , « ) : Ora 

 acciò i teimini introdotti da quella nuova variabile a si an- 

 nullino , converrà che sia 



^«{(|-!)-T(|2)-ec.} = c, . 



ed indicando per P la quantità contenuta tra quelle parente- 

 si , Aa.P = o. Di qui noi ricaviamo Aa = o, ovvero P=o. 

 La prima di queste due equazioni ci dà per a una costante , 

 quindi si ritrova l'integrale completo d'onde partimmo; la se- 

 conda P = o ci darà quella funzione variabile, che sostituire 

 dobbiamo ad a, onde si ottenga la soluzione particolare. L'e- 

 quazione P-=zo é alle differenze del primo ordine di a, e può 

 contenere anche y e Ay: si elimineranno però in virtù delle 

 equazioni (I),(K); anzi perchè più facile riesca questa elimi- 

 nazione, daremo all'integrale completo la forma/ — y(x,a)=o. 

 L'integrale poi di P = o ci somministrerà per a il ricercato 

 valor variabile, ma ancora questo conterrà una costante arbi- 

 traria, e quindi anche la soluzione particolare si troverà for- 

 nita di una costante arbitraria , come lo era l' integrale com- 

 pleto , da cui si è dedotta . 



L' equazione P = o potrebbe egualmente esser suscettibi- 

 le di una soluzione particolare , ma per ora io supporrà che 

 ciò non sia , e che quindi la P = o abbia solo un integrale 

 completo . 



§. a. Sia dunque a = ip (x , e) quest' integrale , ed avre- 

 mo per la ricercata soluzione particolare 



(S) . . . . (p\x , y ,ip{ X , c)\ = o . 



Noi abbiamo adunque per soddisfare all'equazione alle diffe- 

 renze F ( a; , 7 , A/ ) = o , due equazioni 

 (I) <p{x,/,a) = o, 



(S) <p \x,y,'ip{x,c)\ = o^ 



ambedue fornite di una costante arbitraria, e tali che la se- 

 conda è stata dedotta dalla prima col far variare la costante 

 a che vi si trova . 



Ora può dimandarsi se per mezzo della variazione di e. 



SI 



