178 Sopra le Soluzioni Particolari ec. 



^ (— l)'(A-+-r) J A i i ■ 1 -i. • 



Lx = essendo A una nuova costante arbitraria . 



Questo valore di G sostituito nella già trovata soluzione 

 particolare ci darà 



A-t-r (A-f-.r)* 4^*— il 

 J* — 4 4 ^ Ì6~ ' 



e sarebbe questa una terza equazione che soddisferebbe alla 

 differenziale y = xAy — Ay^; è facile però a vedersi che que- 

 sta ultima soluzione particolare è io stesso integrale completo; 

 infatti essa si riduce così 



A-f-xH- A*-f-aAT-i-x* 4r*— r 



y= 4 -^V-' 



4A-+-4A*-t-8Ar-»-4r— I 



7=- 



X — < — T^ > , e mutando la forma della co- 



4_ 



stante arbitraria, y = Kx — K^ , ove la costante E tiene il po- 

 sto della costante a dell' integrale . 



Dall' integrale completo adunque per mezzo della varia- 

 zione della costante ne abbiamo ritrovata la soluzione partico- 

 lare, e da questa qui facendo egualmente variare la costante, 

 è di nuovo tornato l'integrale medesimo; così delle due equa- 

 zioni 



y=z ax — a? 



■'a 16 ' 



si può prendere la prima per integrale completo , ed allora la 

 seconda è la soluzione particolare , la quale da esso si dedu- 

 ce ; o viceversa prendere quest'ultima per integrale completo, 

 e la prima diventa la soluzione particolare . 



Si concluderà poi che due sole equazioni fornite di co- 

 stante arbitraria soddisfanno all'equazione y = xAy — Ay"^ , e che 

 non si può ottenerne altre . 



§. 5. Quanto avviene nel caso qui sopra trattato, si ve- 

 rifica eziandio in qualunque equazione alle differenze , ^d in 

 questa guisa si risponde alla dimanda del §. a. 



Le due equazioni 



(I) <p ix,y, a) = o, 



(S) (p (^x,y,f {x,c)'j = o. 



