Del Sic. Vincenzo Brunacci . 179 



ponno egualmente considerarsi come integrali completi della 

 equazione alle differenze 



(D) F(a;,7,Ar) = o, 



giacché ambedue contengono una costante arbitraria, e ad es- 

 sa soddisfanno. Considerate poi una relativamente all'altra si 

 può dimostrare die presane una per integrale completo., V altra 

 d'u^enta la soluzione particolare , e viceversa. 



Infatti se nell'equazione (S) presa per integrale comple- 

 to, si sostituisce invece della costante una quantità variabile, 

 e tale che i termini introdotti dalla di lei variabilità si an- 

 nullino da sé medesimi ( pel che essa continuerà a soddisfare 

 air equazione alle differenze ) , diverrà allora questa equazio- 

 ne (S) una soluzione particolare; ma l'equazione (S) può sem- 

 pre ridursi alla ( I ) sostituendo invece della costante arbitra- 

 ria una opportuna funzione di x : dunque soddisfacendo { I ) 

 all'equazione alle differenze, egualmente che la (S), ne se- 

 gue che quest' ultima funzione da sostituirsi in (S) invece del- 

 la costante , sarà appunto quella , che renderà la ( I ) una so- 

 luzione particolare ; dunque la (I) sarà una soluzione parti cola/- 

 re, che si deduce dalla (S) , come questa si deduceva dalla mede- 

 sima ( I ) . 



5. 6. Questo interessante Teorema si può anche dimostra- 

 re in alti-a guisa . 



L'equazione per mezzo della quale si determina il valore 

 di a , onde da ( I ) si ricavi ( S ) , é 



(^ ( A- -H I , 7 -J- A/ , a -H à.a ) — (p [ X -¥■ i ., y -¥- Aj , a ) = o 

 ovvero 



A« . P = o . 



L'equazione alle differenza P = o ci dia fl = ^(a;,c),e 



la soluzione particolare sarà (j5|x,jy,i//(a:,c)| = o . 



■ìp{x ., e) sarà tale , che facendo aumentare x dell' unità , 

 e considerando e costante , come é , l' equazione 



^(x-^i , 7 -H A/ ,'i/^(x-Hi,c)j=o diviene 



<p j X -H 1 , 7 -f- Aj , ?/> ( a; , e ) I = o come se ^ fosse stato 

 eguale ad una costante . 



Ora consideriamo questa equazione (p\x.,y,rp{x^ c)\ =0 



