i8o Sopra le Soluzioki Particolari ec. 



come un integrale completo , e per mezzo di esso cerchiamo- 

 ne la soluzione particolare. Si avrà allora, supponendo che la 

 costante e divenga una funzione variabile da determinarsi , 



(^(x--t- I, j-t-A/, ip-it-I\ip) — (p{x-^ I, j-i-Ax, i/;) = o, 

 ovvero 



Ai//.P'=o, ove P' è fatto di ^ e di Ai//, come Pera di « e di Aa. 



Quest'equazione si decompone nelle due Ai// ^ o , P' = o ; 



la secanda torna a darci per i// lo stesso valore , che sopra 



ricavammo dalla P = o per a , e quindi si ricade nella stessa 



equazione dalla quale siamo partiti, cioè <p\x,y,ip{x^c)\-=c. 



La pi'ima ci dà z// = A costante arbitraria , e si ricade nell' 

 integrale completo (^ ( a-,jK, A ) = o, il quale in conseguenza 

 nasce, come soluzione particolare, da quella soluzione che si 

 ricavò da lui . 



§. 7. Con un altro esempio possiamo verificare tutto que- 

 sto . Sia da integrarsi l'equazione y =: xAy -h i/Ay . 



L'integrale completo di quest'equazione è y^za'^x-i-a. 

 Per averne la soluzione particolare supporremo a variabile, e 

 dovremo determinarla per m^zzo di questa equazione 



2.a ■+■ Aa = , ovvero 



I 



Si ricava di qui 



.. = (-. )-{c^2t^-}. 



La soluzione particolare adunque sarà, facendo ^nix^ 



7 = 5 C^h-2CSw^-<-2to^I^-i-(— i)-^-JC-h2/?zJ. 



Presa ora questa equazione per integrale completo , se ne 

 cerchi la soluzione particolare, e si avrà per determinare C, 

 l'equazione alle differenze 



(aC -+- AC) (^-4- I ) -H- a (:r -H I ) 2;?Z;, -+- ^^^:^^^^— ^— (— I )^=c , 



(aC-f-AC)(a:-4-i )-t- a(.r-i-i ) 'E.nix -^ {— i Y — ^ 

 { aC -H AC ) = — aS/w^ — nix -, 

 C:c-»-i -H Ca; = — "^rrix — • 2a72j^., , 

 o quindi 



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