Del Sic. Vincenzo Brunacci . i8i 



C.=— 27??^-f-A(— i)S 

 essendo A un' altra costante arbitraria . 



Se questo valore di G si sostituirà nella già trovata solu- 

 zione particolare, avremo 7 = A*:r-i-A, che è lo stesso inte- 

 grale completo . 



§. 8. Nel ricavare dall' integrale completo (p{x ,y ,a) = o 

 la soluzione particolare , noi abbiamo supposto ( §. i ) che l'e- 

 quazione /* = o, la quale ci dà il valore di a, non fosse su- 

 scettibile che dell' integrale completo . Supponiamo il caso che 

 essa possa avere anche una soluzione particolare . Rappresentia- 

 mo l'equazione P = o per /(a:, a, Aa) = o ed il suo integrale 

 completo per f (x, a., e) = o essendo e la costante arbitraria . 

 Per avere la soluzione particolare conviene trovare quella fun- 

 zione di X da sostituirsi invece di e, e questa funzione dipen- 

 derà dall' integrazione di una equazione a differenze finite 

 (C) L ( jc, e, Ac ) = o . 



Quest' ultima equazione non abbia soluzione particolare , 

 e sia il suo integrale completo h' { x^c,b) = o essendo è una 

 nuova costante arbitraria. Ricaviamo da quest' ultima equazio- 

 ne il valore di e, e sia e = r {x ., b): avremo allora 

 /'(^,a,c) = o, 



/' ( X, a, r ( A-, Z» ) ) = o, 



che saranno le due equazioni fornite di una costante arbitra- 

 ria, le quali soddisfanno all'equazione alle diiferenze/(a,-, a, Aa) 

 = o. Da quelle due equazioni ricaveremo adunque due valo- 

 ri di a, il primo dei quali lo abbiamo indicato per ip {x,c), 

 ed il secondo indichiamolo per ip'(x,b). 



Quest' ultimo valore sostituito nell' integrale completo 

 (p {x , y , a) = o ci darà un' altra soluzione particolare 



<p ^x,y,rp' {x, b)ì=o ; e così per soddisfare all'equazione al- 

 le differenze F ( x,/, Ay ) = o, avremo queste tre equazioni 

 <p {x,j, a ) = o, 



^ |j;,7, t/;(x, e ) I = ò, 



fp \x,y,ìp'{x,b)\ = o . 



Se l'equazione alle differenze (C) ammettesse ancora es- 

 sa una soluzione particolare , allora si avrebbero due valori va- 



