i8a Sopra le Soluzioni Particolari ec. 



variabili per C, quindi tre valori variabili per a , ed in con- 

 seguenza quattro equazioni fornite di costante arbitraria, cia- 

 scuna delie quali può essere riguardata come l' integrale com- 

 pleto della proposta 



F{x,y,Ay) = o. 



Da ciascuno poi di questi quattro integrali si possono de- 

 durre tutti gli altri per mezzo della variazione delle costanti . 



Nella medesima guisa si stabilisce quando un'equazione 

 alle differenze del primo ordine può avere cinque integrali 

 completi, e così via discorrendo. 



L'equazioni prese per esempj aver non potevano che due 

 sole equazioni fornite di costanti, le quali soddisfacessero all' 

 equazione differenziale . 



5. 9. Veniamo a parlare delie equazioni alle differenze del 

 secondo ordine , e dei superiori . 



Sia l'equazione del secondo ordine alle differenze 

 F ( ^, /, Aj , A^j ) = o , ed 



{n)....y:^(p{x,a,b) il suo integrale completo . Se noi 

 prendiamo la differenza prima e la seconda, si avrà 



(b) . . . .Ay=(p{x-i- i,a,è) — ip (x, a, b) i 



(e) . . . . A^/=(^(x-i-2,,«,Z») — 2,(p{x-*-i ,a,b )-4-^(x,a,è); 

 le quali per semplicità scrivo cosi 



(b) . . . . A/ = (p' ( X , a^ b), 



(e) . . . . A^jK = (p" ( X , a ^ b ) , 

 e l'equazione alle differenze risultei'à dall'eliminazione delle 

 due costanti a , b per mezzo delle tre equazioni (a) , (b) , (e) . 



Se poi per mezzo delle due equazioni (a), {b) si elimina «, 

 ovvero b , avremo due equazioni alle differenze del primo or- 

 dine 



P{x,y,Ay,a) = c, 

 Q{x,y,Ay,b) = o, 

 cui si dà il nome d' integrali primi completi . Si avverta a scan- 

 so d'equivoco, che P{x, y, Ay^ a) significa qui una funzione 

 delle quantità poste tra le parentesi : lo stesso dicasi di 

 Q{x,y, Ay , b). Dall'eliminazione poi di Ay tia i due in- 

 tegrali primi risalta l' integrale completo . 

 / Ora supponiamo che le due costanti a , b divengano va- 



riabili, e determiniamole per modo che i termini portati dalla 

 variabilità loro si annullino da sé medesimi . In questa ipotesi 

 avremo 



