Del Sic. Vincenzo Brdnacci . i83 



Ay:=(fi(x-*-i,a-t-Aa,b-^Ab)—^(x,a,b)=zif>(x-t-i,a,b)—ip(,x,a,b)-t-f(T,a,Aa,b,àb), 

 e dovendo annullarsi i termini introdotti da a, b , si avrà 



(i) . . . .f{x,a,Aa,b, Ab ) = o . 

 In tal guisa il valore di A/ sarà lo stesso come se a, b fos- 

 sero state costanti . 



Prendiamo ora la differenza della trovata differenza prima 

 A/ , e si avrà 



A^y=<(i'(x-t-i,a-t-Aa,b-t-Ab)—(p'(x,a,b) = f(x-i-t,a,hy-tp'(x,a,b)-*-f(x,a,Aa,b,Ab). 



Onde poi la variabilità dì a, b non alteri il valore di A^/ do- 

 vrà essere 



(2) . . . ,/'( X, a, Aa, b, Ab)=o . 

 Alle equazioni (i), (a) noi possiamo dare queste forme 



(i) . . . . Aa . F-^Ab .W = o, 



(2) Aa .V'-^Ab .W'=o; 



nelle quali r,W,r',W' sono funzioni di x, a.j Aa, b. Ab . 



§. IO. Determinati i valori di a, e di è per mezzo di 

 queste due equazioni, si avrà ( indicando per Ux-) bx questi 

 valori ) 



(a) . . . .y = <p {x, a^, b^ ), 

 e questa sarà la soluzione particolare della equazione propo- 

 sta , imperciocché avendo le funzioni «j,. , b^ la proprietà di 

 introdurre, nelle differenze, termini, che da sé stessi si distrug- 

 gono , si ha egualmente 



{b) . . . . A/ = (^' ( X , fl^ , Z»^ ) , 



(e) . . . . A^7 = f" (x, Ox ,bx), 

 e quindi con l' eliminazione di «e, bx per mezzo delle tre equa- 

 zioni (iz) , (Z'), (e), si ha la stessa equazione alle differenze finite 

 F {x,x,Ay, Ay) = o . Soddisfarà dunque a questa equazione 

 y=i^{x,aj;,bx), il quale, non risultando da qualunque va- 

 lore particolare, che si dia alle costanti a, b, dell'integrale 

 completo 



yz=(p(x,a,b), si chiama in conseguenza soluzione particolare. 

 I due integrali primi 



P ( X , j , A/ , G ) = o 

 Q {x,x,Ax,b) = o 

 indicati al §. antec, divengono per le stesse ragioni due solu- 

 zioni particolari, quando si pongano in esse invece di a, b le 

 ritrovate funzioni a^ , bx • Saranno adunque queste due solu- 

 zioni particolari 



(3) Pix,y,Ay,ax) = o, 



