i84 Sopra le Soluzioni Particolari ec. 



(4) Q{x,y,Ay,b,) = o. 



Anzi rapporto a queste soluzioni particolari si può dimo- 

 strare , che sono in sostanza una sola, non differendo le due 

 equazioni che nella forma . 



Infatti per avere la soluzione particolare (3) bisogna in- 

 cominciare da eliminare b tra le due equazioni 

 y = (p{x,a, b), 

 Ay = ip'{x,a,b), 

 e quindi dal risultato 



P {x ^ y ., Ay , a) = o 

 eliminare a per mezzo delle altre due equazioni (i), (a); di 

 modo che quella soluzione particolare è il risultato della eli- 

 minazione dì a , b per mezzo delle quattro equazioni 

 (a), (b), (i), (a). 



Se ehminiamo poi la costante a per mezzo delle suindi- 

 cate equazioni (a), (Z») , e dal risultato Q ( x ^ y , Ay ^ b ) = o 

 si elimina b con l'ajuto delle due altre equazioni (i), (a), si 

 avrà l'altra soluzione (4); anche questa pertanto sarà il risul- 

 tato della eliminazione di a , b per mezzo delle quattro equa- 

 zioni (a), {b), (i)., (a): dunque le due soluzioni particolari 

 si ridurranno ad una sola . 



5. II. Al 5. 9 abbiamo detto che una equazione del se- 

 condo ordine alle differenze , ha ( giusta la comune maniera 

 di considerare gli integrali ) due integrali completi del primo 

 ordine , e questi abbiamo rappresentati per 



P ( X ,y , Ay ,ffl) = o, P = o, 



V •>y ■> y ■> / 5 ovvero ^ ' 



Q{x,y,Ay,a) = o, Q =0 . 



Ora io osservo che questi due integrali ponno riguardai'- 

 si , uno come la soluzione particolare ricavata dall'altro col 

 far variabile la costante che in questo si trova. Infatti si os- 

 serverà qui come al 5. 5 , che si può sempre prendere per a 

 una tale funzione di x , y , Ay , che renda P = Q , di modo 

 che 5 indicando per M questo valore , sia 



P ( X , y , Ay ,M ) = Q {x , y , Ay , b ) . 

 Ora questo valore di a non essendo una quantità costan- 

 te non può darci un integrale particolare ; ma una soluzione 

 particolare, se sostituito in P = o continuerà quest'equazione 

 a soddisfare alla proposta equazione alle differenze, come av- 

 viene infatti , giacché allora P p=Q. 



Da 



