Del Sic . Vincenzo Brunacci . 1 85 



Da siffatta osservazione si ricava anche un'altra dimostra- 

 zione del Teorema dimostrato al §. io, cioè 



Se dall' integrale primo completo P = o si ricava la solu- 

 zione particolare del primo ordine ^ e sia R = o , se una simile 

 soluzione particolare si ricava dall'altro integrale primo Q=zo, 

 e sia 5 = 0, queste due soluzioni saranno la stessa cosa. 



Supponiamo infatti che la costante a dell'integrale primo 

 sia variabile, e che x cresca della sua differenza finita i , e 

 si avrà 



P (x -h I , 7 -H A/ , Ay ■+• Ay , a ■+• Aa.") = o , 

 cui si può dare la forma 



P (x ■+■ I , 7 -»- A/ , A/ -I- A=y , « ) -t- Ae . T = o , 

 indicando per Aa . V la somma dei termini portati da a . Se 

 si fa f'=o, o per denotare che F contiene a,?^(«) = o, 

 sarà questa l' equazione , che determinar debbe a , e la solu- 

 zione particolare R = o sarà il risultato della eliminazione di 

 a tra le due equazioni P = c, V (a) = e . 



Lo stesso si dica per la soluzione particolare 5 = o,che 

 ricavar si debbe da ^ = o . Sarà essa il risultato della elimi- 

 nazione di 1/ tra Q = o, ed un'altra equazione F' = o, ovve- 

 ro F'{b) = o. 



Ora poniamo in P ( x ,y , Aj , a ) = o in scambio di a 

 quel valore M, il cpiale rende P(^x,y,Ay,3I) = Q(x,y,Ax,b): 

 è manifesto che in quest' ipotesi avremo lo stesso risultato eli- 

 minando b tra Q = o , V (b) = o , che si avrà eliminando M 

 tra P ( x , 7 , A7 , iTf ) = o , V (M) =: o , giacché il è è solo 

 contenuto in M; ma quest'ultimo risultato è lo stesso che 

 quello dell'eliminazione di a tra P{x,y, Ay, a) = o, F{a} = o; 

 dunque il risultato dell'eliminazione di a tra queste due ulti- 

 me equazioni, cioè la soluzione particolare, la quale ci è da- 

 ta da P = o , sarà lo stesso che il risultato dell' eliminazione 

 di b tra Q = o, F' (b) = o , cioè sarà l'altra soluzione parti- 

 colare del primo ordine dataci da ^ = o . 



5. la. Riprendiamo le due equazioni del 5. 9, 



(i) Aa.F-hAb.W = o 



(a) Aa.F'-+- Ah . W = o , 



le quali ci debbono dare i valori di a , b in funzioni di x, 

 da sostituirsi nell' integrale completo 



y=(p(x,a.,b), onde si abbia la soluzione particolare che 

 Tomo XIF. A a 



