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vi corrisponde ; e da sostituirsi in uno degli integrali primi 

 completi 



P ( .r , 7 , Aj , » ) = o , 

 ^ ( a; , jr , 4x , Z» ) = o , 

 onde abbiasi la soluzione particolare prima . 



Primieramente osservo che facendo Aa ■= o , Ab = o , le 

 due equazioni sono soddisfatte , e per a , ^ si hanno due co- 

 stanti, e quindi si ricade negli integrali completi d'onde sia- 

 mo partiti . Non facendo adunque queste supposizioni consi- 

 dero che le due equazioni (i), (a) sono alle differenze finite 

 del primo ordine tra due funzioni variabili incognite a^ ■, b^ •, 

 e che perciò ( Corso di Mat. Sub. Tom. I, 5- 71 ) ^^ valore 

 di queste funzioni dipenderà dall' integrazione di una equazio- 

 ne a differenze finite del secondo ordine. Supponiamo che quest' 

 equazione non ammetta soluzioni particolari , ma soltanto un 

 integrale completo . Questo integrale completo conterrà due 

 nuove costanti arbitrarie, quindi i valori di Ujo, bx conterran- 

 no ancora essi queste due costanti. Sia pertanto aj; = (^(a:,c,e), 

 bj: ^= ip' { X , e , e ) essendo e , e quelle costanti , e sarà 

 y^(p{x,ìp,ip') la soluzione particolare corrispondente all' 

 integrale completo , e P ( or , 7 , Ay ,»//) = o , ovvero 

 Q(^x^y^Ay,ip')=:c la soluzione particolare del primo ordine. 



Cosi la soluzione particolare corrispondente all' integrale 

 completo, contiene, come esso, due costanti arbitrarie; e due 

 costanti arbitrarie contiene anche la soluzione particolare pri- 

 ma, a differenza degli integrali primi,! quali non ne conten- 

 gono che una sola ciascuno . 



5. i3. Prendiamo a farne un esenipio : Presa l'equazione 



y = ax -^ — i- a^ -^ b^ per un integrale completo , si ha 



Ay ■=. a -K ^— ;; , A=y = b , quindi sarà 



yz=ixAy— '' ■ ^'^y — l^-H Ay — A/ . A^j .(ax-Hi)-f-x*A^ -^x'^y -*-— r- 



r equazione alle differenze del secondo ordine di quell'inte- 

 grale . 



I due integrali primi saranno 



y = x\Ay . > ^ U .^-^b^^\Ay -^—\ , 



