Del Sic. Vincenzo Brunacci . 187 



X' , 2.Ay—2.a ) i aAr — aa ,^ 



y = ax H -^ -H — :^ -4-a^ . 



•' a ( ax -♦- 1 ) < a a; -t- I ) 



Ora per avere le soluzioni particolari si riguardino a , 1/ 

 come variabili, e le equazioni (i), (a), diverranno 



(i)....A«(x-t-i)H ^ - "*"'^" -i-aaAa-t-Aa -+- aZ'A^* -t- AZ'=' = o , 



(2) A«H 4 -' = 0; 



cosi la soluzione particolare corrispondente all'integrale com- 

 pleto, si avrà sostituendo in esso per a, b i loro valori dati 

 dalle equazioni (i), (a). 



Sostituendo nell'equazione (i) il valore di Aa dato dall' 

 equazione (a) , e dividendo per Ab , si ha 



(ar-t-3)(3r-i-i) (r-t-i)=- ^a(2.x-i-S) Ai(aj:-t-3)=' , ., 

 1- ■ 1 ; K a// -i- Ab = C , 



a a a 4 •* 



ovvero 



/0\ (x-t-l)(x-*-S.) / ov (2T-I-3)* ., , ., 



(3) .... — i ^ : — (aor-t-S) a -H — j-^ A^- -f- aè -+- AZ» = o . 



In questa equazione facciamo aumentare x dell' unità ed 

 avremo 



- ^"""f'^^^ -(ax-t-5)(a^-Aa)-H ^'^;^-^^' (A^-HA^Z>)-Ha(Z>+AZ>) -h 



A^-(-A^Z'=:o , nella quale, sostituendo per Aa il valore datoci 

 dalla equazione (a) ^ si ha 



(4). ■..~ <""-^^^^"-"^^> -(a:c -4-5)^-4- ^^^""-'^ Aé-<- 



(axH-5)' ^^ _^ ^^^^ ) -H aZ> -4- 3A/; -f- A^^ = o. 

 4 \ / 



Per mezzo delle due equazioni (3), (4) si può eliminare a, 

 ed ottenere un'equazione alle differenze del secondo ordine, 

 la quale abbia questa forma 



MA^b -H NAZ; -H LZ* -H H = o , 

 essendo i coefficienti M, N, L, H tante funzioni date di x. 



Ad una tale equazione si può dare anche la forma 

 (5) . . . . Z'xH-a -+- abx-^-i •+- ^hx = X 

 essendo a , /3 , X funzioni cognite di x . 



L'equazione (5) è integrabile completamente (Opera citata, 

 ^. 49 ) e non ammette soluzione particolare . 



Da questo integrale completo si ricaverà il valore di b^^ 

 il quale sostituito nell'equazione (4) ci darà quello di «x • 



