i88 Sopra le Soluzioni Particolari ec. 



Ciascuno di questi valori conterrà poi le due costanti arbitra- 

 rie, che porta l'integrazione dell'equazione (5). 



Io non eseguisco tutti questi calcoli, perchè si complica- 

 no in tal guisa, che a me non sembra che metta conto con- 

 durli a fine . 



5. i4- Ritornando alle dottrine sviluppate nel 5- 12, io 

 osservo che l'integrale completo / = <^ ( a;, a, é ) ci ha data 

 la soluzione particolare 



y-z=(p^x,ìp(.v,c,€),ìp'{x,c,e)}, la quale contenendo 



due costanti arbitrarie può essere presa per l'integrale com- 

 pleto della proposta . Considerando poi quest'ultima espressio- 

 ne di y come l'integrale completo, si può dimostrare, come 

 per l'equazioni del primo ordine, questo interessantissimo ed 

 elegante Teorema che la soluzione particolare da esso sommi- 

 nistrataci per mezzo della variazione delle costanti, è lo stes' 

 so primiero integrale completo, quando l'equazione alle diffe- 

 renze che determina le costanti a , b divenute variabili , non. 

 abbia soluzioni particolari . 



Infatti supponiamo che in 



7 = (^|a;,?//(x,c,e),i/''(r,c,e)( 



le costanti e, e siano variabili, ed i termini che dovranno an- 

 nullarsi in virtù di queste variabilità saranno 



A^//.^-^-AV>^W = o 



Aip.V'-\- Aip' . W = o , 

 ove r, F', W, W' sono fatti di ip^ip' come al §. 12 erano di a^b. 

 Ora facendo Aip = o , Aìp' = o , si trova ip=ayTp' = b^ 

 quindi si ottiene per soluzione particolare y = (p{x ,a,b). Se 

 poi queste supposizioni non si fanno , allora per ip -, ip' si ot- 

 tengono gli stessi valori , che si ebbero per a,b ^ quindi si 

 ricade nella stessa equazione 



7 = (^ I or, ^ ( a;, e, e ), <//' ( X 5 e , e ) I , d' onde partimmo . 



Così delle due equazioni 

 y = (p {x,a,b) 



y=:<p^x,ìp(x,c,e),^'(x,c,e) \ 



qualunque di esse si prenda per V integrale completo , V altra 



