Del Sic. Vxncen:^o Brunacci . 189 



ne dwenta la soluzione particolare , o deriva dalla prima fa- 

 cendo variare le costanti . 



Quando l'equazione risultante da quelle due (i), (a) del 

 citato 5- ammettesse soluzione particolare , allora si potrebbe 

 ottenere un'' altra soluzione particolare della proposta equazio- 

 ne alle differenze , completata anche questa con due costanti 

 arbitrarie , a motivo delle quali essa anche potrebbe prendersi 

 per l'integrale completo. Insomma si possono qui dimostrare 

 delle proprietà simili a quelle, che abbiamo dimostrate ai 

 ( §§. 5,6,8) per gli integrali delle equazioni alle differenze 

 dei primo ordine . 



§. i5. Quanto alle equazioni degli ordini superiori, si può 

 per la stessa via procedere a stabilire la dottrina delle solu- 

 zioni particolari , e ninna difficoltà può incontrarsi nel dimo- 

 strare i Teoremi, i quali contengono i rapporti tra le soluzio- 

 ni e gl'integrali . 



Io lascio, a chi il voglia, il rendere generale questa dot- 

 trina che detti peli' equazioni di primo e secondo ordine , e 

 passo alla considerazione delle soluzioni particolari nelle equa- 

 zioni a differenze finite e parziali . 



^. 16. In questa sorte di equazioni la dottrina delle so- 

 luzioni particolari si complica oltre modo , non perchè non 

 bastino le considerazioni stabilite superiormente per fondarla, 

 ma perchè i calcoli divengono lunghi e tediosi, e perchè es- 

 sa dipende dall' integrazione di equazioni , che non si sanno 

 per anche integrare : così nello stato attuale della matematica 

 tutto quel che può farsi si è l'indicare le tracce da seguirsi, 

 in siffatta ricerca . 



Prendiamo l'equazione 



= ^(0:, j,«, è), ovvero 



(i) . . . .Za:,j=(^(x,j,a,Z>), essendo a , h due co- 

 stanti . Da questa si ricava 



(a) . . . . Zx->^-i ,y=<p(x~^i,y,a, b) 



{3) . . . .z.r,y->-i = (p(x,y-\-i,a,b) 

 ed eliminando le due costanti per mezzo di queste tre equa- 

 zioni si ottiene 



(4) • • . . F {x,y,Zx,y-*-J-,Zx^j,y) = 0^ 



equazione alle differenze parziali del primo ordine, della quale 

 l'equazione (i) è l'integrale completo. 



Ora l'equazione (i) continuerebbe ancora a soddisfare all' 



