iqo Sopra i.e Soluzioni Particolari ec." 



equazione (4) se a^ b fossero variabili, ma tali che i termini 

 da essi introdotti si annullassero da sé medesimi , cioè a dire 

 che non ostante la di loro variabilità si continuassero ad ave- 

 re per ::.T-»-i ,j, Sx,j-4-i le stesse espressioni. Allora l'equazio- 

 ne (i) sarebbe una soluzione particolare . 



Vediamo come introducendo nel calcolo questa condizio- 

 ne si possono determinare a. b,le quali essendo variabili scri- 

 veremo per ax,x t b.r,y • 



In questa supposizione dall'equazione 



si deduce 



Zx-^i .r=(p(x-^l ,7 , «x-Hi ,y , bx-^i ,y), 

 Zx ,y-+- i'=(p\ AS.X"*" ' •>0'X ,y-^i •> bx ,y-¥-i ) ■> 



avi'emo adunque per determinare a^^jK 5 ^x^7 queste due equa- 

 zioni a differenze finite e parziali 



(5) (p{x-^l ,y,ax-i-i,y,bx^i,y) = (p{x-lnl .Y -i^x ,y,b x ,y) ^ 



(6) . . . .(p{x,y-^l , ax ,y-t-i r, bx ,y-t-i) := <p (x ,y-i-l ■,ax,y,bx,y). 



Da queste equazioni conviene dedurne una, che contenga una 

 sola delle due funzioni incognite «, ^, e sarà questa un'equa- 

 zione a differenze parziali . 



Dalle due equazioni (5), (6) si può eliminare Ox.y e si 

 avrà un'altra equazione . 



(7) .... F' {x,y,ax-i-i,y,ax,y-t-i,bx,y-,bx-i-i,y,bx,y-t.t)=:C . 



Facendo nell'equazione (5) crescere la y di una unità, e 

 nella (6) facendo aumentare la :i; , i due primi membri ven- 

 gono eguali , e l' eguaglianza dei secondi ci dà 



(8)....(p(x-\-ì,y~^I,ax,y-t-i,bx,y-*-i)='p{x-¥-l,y-i-l:,ax^j,y^bx-i-i,y). 



Per mezzo delle equazioni (7) , (8) si troveranno i valori 

 di ax,y-t-i 5 ax-t.i,y espressi come segue 



(9) . . . . ax,y-t-i = 4'( X,y,bx,y, bx-^i,y , bx,y-t-i) , 

 (io) . . . .ax^i^y:=iy {x,y., bx,y , bx^\,y ■> bx,y-^i ) ■ 



Ora facendo aumentare x di una unità nell'equazione {9), 

 ed y nella (io), si ricaverà da esse una equazione di questa 

 forma 



(11)... ./(x,7,Z'i-t-i,jvr,^.r,y-f.I,è:r-l-i ,y-(-l , ^-'. 1-1-2, J , ^r.y-t-a ) = O 



dall'integrale della quale equazione dipende il valore di hx,y 



e di Ux ,y • 



§. 17. L'equazione semplicissima 



Zx ,y'=ax-^by'-\-ab ,j ci dà subito 



. , Zx-t,^,y'=a{x-\- i)-^by-^ab , .» - 



