iga Sopra le Soluzioni Particolaiu ec. 



NOTE 



Al S- I. 



i_ie due efjuazioni (I) , (K) si possono combinare in infiniti modi , ed ognuna di 

 queste combinazioni ci darà una equazione alle differenze finite del primo ordine , 

 della quale (fi(x , y , a)'^o sarà l'integrale. Le eliminazioni poi, sia di una quan- 

 tità costante come di una quantità variabile , sono alcune di quelle infinite combi- 

 nazioni . 



Proposta dunque una equazione alle differenze del primo ordine , può questa 

 non esser nata dalla eliminazione di una costante arbitraria , ma da qualunipie altra 

 combinazione: ora avendo noi asserito in questo 5- cbe una tale equazione può sem- 

 pre riguardarsi come il risultato dell' eliminazione della costante sembrerà a taluno che 

 questa proposizione , in virtù delle considerazioni fatte qui sopra , sia falsa , o per il 

 meno inesatta . 



Eccomi per questo a dimostrarla : In qualunque modo sia nata una equazione 

 alle differenze del primo ordine , per effettivamente integrarla occorre l' integrazione 

 di formole alle differenze prime , la quale porta di sua natura una costante arbitra- 

 ria; così l'equazione integrale conterrà questa costante arbitraria che non si trovava 

 nell'equazione alle differenze. 



Se 510 i per mezzo di quest'equazione integrale, fornita di costante arbitraria,© 

 della di lei differenza finita , si elimina la costante , si otterrà un' equazione alle dif- 

 ferenze prime, la quale sarà sempre riducibile alla proposta, e ne sarà la medesima 

 cosa , per il che concluderemo che anche la proposta si potrà sempre considerare de- 

 dotta dall'eliminazione di una costante, tra l'integrale completo, e la sua differen- 

 za finita, per quanto non lo sia stata. 



Infatti sia F ( a: , j , Ay ) = o l'equazione alle differenze: sia (^ = il suo inte- 

 grale fornito di una costante arbitraria, e dovendo questo soddisfare all'equazione 

 alle differenze , sarà necessariamente 



F (r , j , Ar ) :=/(7Ì , ^') indicando per .^'=0 l'equazione ^<=zo quando x vi cre- 

 sce della sua differenza finita. La proposta adunque sarà/ (<^ , i^')=:c . Ora a que- 

 st.i equazione si riduce qualunque altra equazione fatta con le due (^z^ o , (p' ^ o , 

 sia eliminandone la costante, sia combinandole in qualunque modo tra loro: impera 



ciocché 



