Del Sic. Vincenzo Brunacci . igS 



ciocché ponendo, che (juesta nuova combinazione s'indichi per ^/(;p,^')r:o , sai 

 rà sempre 



e siccome r(^,^')^o da sé medesima cosi ip(ip , ip' )^o »rà la stessa cosa che 

 /( ?* 3 ?*' ) — - " 5 ed una di queste si potrà sempre ridurre all' altra con l' aggiunta 

 di r ((p,(p' ) = o . 



Si avverta che i segni <p,'^,f-,T esprimono funzioni delle quantità, che si tro- 

 vano tra le parentesi accanto a loro . 



Riguardo alle combinazioni , che penho farsi con le due equazioni 

 (I) . . . . (j,(x,y,a) = Q 

 (K) . . . . lyl ( a; -♦- 1 , >' -4- Ay , fl ) =r o =: 1^' 

 si può dimostrare questo Teorema : Se per mezzo di una qualunque combinazione di 

 quelle due equazioni si ottiene un' equazione alle differenze prime 



P (x,y ,Ay)'=o. 

 Se per mezzo di un' altra combinazione diversa ^ si ottiene un' altra equazione 



eliminando tra queste due equazioni il Ay , si ottiene una equazione , che è la stessa 

 qi zz o , o a quella si riduce . 



Infatti indicando quelle due combinazioni per f (<fi , p' )::: o , ip(ip,<f>')::zo, 

 per eliminarvi il Ay serve eliminare tra queste due il ip' , che la contiene , e si avrà 

 allora un' equazione di questa forma Fi;! := o , la quale si riduce a iji := o . 



Queste considerazioni e questo Teorema da noi dato per le equazioni a differen- 

 ze finite, hanno luogo parola a parola per l'equazioni differenziali. 



Verifichiamo con un esempio questo ultimo Teorema. 



Sia l'equazione y ^ ax* -4- a' , e questa ci darà Ay = a ( ax -t- i ) . Eliminando 

 a tra queste due equazioni si otterrà 



(t) . . . . y ( ax- -I- I ) ^ =: x^Ay ( ax h- i ) -t- Ay* . 



Se tra quelle stesse equazioni eliminiamo x si avrà un'altra equazione alle dif- 

 ferenze del primo ordine , 



(!^ . . . . 4y« =: ( Aj — a ) * -(- 4»' . 



Ora eliminiamo Ay per mezzo delle due equazioni (i), (a). Sottraendo l'equa- 

 7Ìone (a) dalla (i) gi ha 



(3) . . . . j'(ar-t-i)"— 4ya-Ha'-t-4a' = | ( ax -t- i ) x^ -i- aa | Ay . 

 Ricavato da quest'ultima equazione il valore di Ay , e sostituito nella (a) si ha un' 

 equazione senza le differenze finite 



?y(a.r-t-i)* — 4ya — a^ — 43' — a.T:»(ax-t-i) =4ffl(y— a') | (ax-t- i) x='-H2a ^ , 



Tomo ?:iV. Bb 



