ig^ Sopra, le Soluzioni Particolari ec. 



la quale ci dà per y , 



y ■=. a.r* -♦- o' , che è lo stesso integrale d'onde siamo partiti. 



Al S- 9- 



La dottrina esposta al principio di questo §. è conforme a quella che si ha so- 

 pra gli integrali delle equazioni differenziali degli ordini superiori . Per essa hanno 

 luogo le medesime considerazioni che noi ablùamo fatte nella nota precedente per le 

 equazioni del primo ordine . 



Se per (p' z^ o , f" '=■ o si rappresentano la diiìerenza prima e seconda dell' e- 

 quazione 



fli(a;,7,o,Z')=:o, combinando queste tre equazioni si può in infiniti modi dedur- 

 re una equazione alle differenze del secondo ordine , e tra queste infinite combina- 

 zioni vi è pur quella dell'eliminazione delle due costanti a -, b . Ma si possono an- 

 che eliminare due qualunque quantità , che siano comuni a quelle tre equazioni . 

 Non ostante tutto questo siccome ordinariamente nell' integrare quelle equazioni alle 

 differenze , avviene di dover prendere gli integrali finiti delle formolo di secondo or- 

 dine, cosi queste introducono di sua natura due costanti arbitrarie nell' integrale 

 dell' equazione alle differenze del secondo ordine medesimo . 



Dall'eliminazione di quelle due costanti risulterà una equazione alle differenze 

 del secondo ordine, la quale si potrà sempre ridurre ad avere la forma dell'equa- 

 zione proposta: ciò si dimostra nella stessa guisa che noi abbiamo fatto per l'equa- 

 zioni alle differenze del primo ordine . E per questo legittimamente si può dire : che 

 un'equazione del secondo ordine può sempre considerarsi come il risultato dell'eli- 

 minazione di due costanti arbitrarie dall'integrale completo . 



L'equazione alle differenze seconde, che si ricava da una qualunque combina- 

 zione F ( (^ , 1^' , Ji" ) = o delle tre equazioni (^ = o , i^' = o , ^" = o , si può sem- 

 pre ridurre ad un'altra equazione alle stesse differenze, la qu^le si deduca da una 

 combinazione qualunque f(<p,<p')zzo delle due i^ = o , ip' =z o , e dalla differenza 

 finita della stessa /( 7Ì , f/ ) =l o . Infatti quest'ultima equazione ci dà 

 / ( (^ -4- Aji , 7Ì' -t- à.(p' ) = o , ovvero 



quindi una combinazione qualuncpie di 

 /((?i,i^' ) = o, e di 



sarà una funzione di f , ip' , (p" , che indicheremo per '^ {,/p , <p' , ip" ) ziz o . 



Ora F ( <;i , f/ , i?l" ) = o si può sempre ridurre a ■^ ( (j) , ■*' , ■j'»" ) = o , poiché sa- 

 rà sempre 



