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Del Sic. Vincenzo Brunacci . igS 



r (?),?»', ^" ) = -^ (?*,?>', ?i" )-*- r (?), ?ì' ,?(") , 



ove r((li, (fi' ,(p")^^o , perchè questa è anche un'equazione che nasee da una com- 

 binazione di (ji =: o , (^' ^ o , iji" := o . 



Avvertiamo che queste combinazioni delle quantità f , f' , (p" , debbono semjìre 

 esser taji , che si annullino col fare iji — o . 



Dalle considerazioni poi fatte qui sopra concluderemo che dalle due equazioni 

 (i zz o , <p' zz o possiamo ricavare un numero infinito di equazioni alle differenze del 

 primo ordine ; che da ciascuna di queste equazioni e dalla sua differenza si possono rica- 

 vare infinite equazioni di secondo ordine ; e che infine ognuna di queste equazioni di se- 

 condo ordine si può riguardare come ottenuta direttamente dalla combinazione delle tre 

 <p-=.o , (f -=.0 , <^" = o . 



Da ciò che si è detto poi nella nota precedente risulta , che da due qualunque 

 di quelle infinite ■ ecpiazionl alle differenze prime, ciascuna delle quali può riguar- 

 darsi come un integrale primo dell' equazione alle differenze seconde , si può rica- 

 vare l'integrale completo <p'=:o, per mezzo dell'eliminazione di A^ , o ricavare una 

 equazione che sia una funzione di questa , e che perciò ad essa possa sempre ridursi . 



L' integrale poi di ciascuna di questi integrali primi , sarà lo stesso integrale fi- 

 nito della proposta alle differenze seconde . Infatti sia S = o 1" integrale di un inte- 

 grale primo f(<p,(p')z=.o: si avTà ( posto 6' =z AS ) , 



f(ip,<p'}zzr(0,d' ) ; dunque ZZ o soddisfarà & f (ij> , <p' ) ZZ o ; ma vi soddisfa 

 ^ := o , dunque d sarà funzione di gi , dunque dall' equazione S ^ o si ricaverà sem- 

 pre tp zz o . 



Avverto anche qui clfe questi ragionamenti e dimostrazioni sono applicabili in- 

 tieramente agli integrali delle equazioni differenziali ; anzi da queste si ricava in qual 

 senso , ed in quale estensione debba prendersi il Teorema di Fontaine sopra la mol- 

 tiplicità degli integrali delle equazioni differenziali degli ordini superiori . 



Al §. II. 



Simili considerazioni possono farsi per le soluzioni particolari delle equazioni 

 differenziali . 



Sia infatti una equazione differenziale del secondo ordine 



^\""('é)'im=- 



Essa Ila due integrali primi P ZZ o , Q zz o ciascuno dei quali contiene una costante 

 arbitraria . Sia a la costante contenuta in F ^o ; b quella contenuta in ^ = o . 



