Del Sic Tommaso Valperga-Caluso • iìoS 



gliare per aver il rappresentativo della flussione dell'area, so- 

 no gli effetti dell' alterazione di essa flussione per lo crescere 

 o scemare di y . Ma l'evidenza del teorema non avendo biso- 

 gno di questo riflesso , non m' arresto a schiarirlo . 



Ritorniamo alla Fìg. i." Il rettangolo AQMP ■=.xy h com- 

 posto dell' area AQM , e dell' area AMP , le cui flussioni per 

 ciò , che veniamo di dimostrare , sono x\y , e y\x . Dunque 

 la flussione di esso rettangolo xy sarà x^y-t-y^x. 



Avendo ^{xy) =: x^y-^-y^x, fo x=y, ed ho 3\{-Jrx) = 

 aa-^:»:, e fatto quindi yz=x'^, '^y = 2,x'^x, ho ^ ( a;^ ) = 3a;^3\'i^5 

 e così proseguendo a fare y -^ x^ , poi y = x^ , ec. è chiaro 

 che il coefficiente e l' esponente cresceranno ciascuna volta di 

 una unità, e sarà sempre '^{x'^) = mx'^~'^x, almeno in que- 

 sto nostro supposto , dove tu è numero positivo ed intero . 



Per accertarlo in ogni altro sieno n, e p numeri positivi 



ed intieri . Fatto s = - ; zx'* = i è costante: onde ne dee la 



a;" 



flussione esser nulla, nzx'''~%x -i- x"^z = e ; '^z = — 2f£ìfs=__ 



—;;:^ = — nX "^ ~"i^X. 



n 



Fatto z^x" , è zP — x'',pzP-%z=:nx''-%x. Ora è 



il ^ 



zP-' = x"~T. Dunque ^z = i£Il|f=^ x'^\x . Dunque 



px r 



sia «ter: — », sia TO=— , sostituendo si avrà sempre à\( •*'") = 



mx'^-^^x . 



Ho voluto dar compita la dimostrazione di un teorema, 

 che si può dire il cardine , su cui tutta si volge la parte al- 

 gebraica del metodo diretto, e inverso. Ma so bene che non 

 debbo qui darne un trattato ; e me ne basta questo comincia- 

 mento per giungere a quella più generale speculazione , che 

 qui mi bisogna . Per cui 8ia7 = A-t-B2r-t-Cs^-)-Ds^-+-Ez^-<-ec. 

 Avrò \y = B^2 H- %Q,z\z -4- I1iz%z -+- 4Ez3^z -+- ec. e sup- 

 posta \z costante , 



8n> = aCg^z^ -t- a . 3Dz^s^ -t- 3 . 4Ez^^2^ -f- ec . 



^3/ = a . 3D8,5;3 _^. a . 3 .4E^^.3 ^ ec. 



V/ = a.3.4E^s^-<-ec. 



