Di Paolo Ruffini. 24 



Si moTtiplichi presentem&nt# la Q', per «*; il prodotto «'Q'i, 

 ninno potrà uguagliare dei risultali, i quali piovengono dalla 

 Q" ; imperciocché se si volesse «'Q'i=Q"(/z) , avendosi, per quan- 

 to abbiam ora detto, Q' {n)=xQ'[ìi) , ne verrebbe «*Q'i = aQ'i'i) , 

 e però Q'('/) = txQ'i, il che abbiam veduto non poter essere . Sia 

 adunque «^Q' i=Q'2 . 



Moltiplicando la Q'i pera', il risultato «*Q'i non potrà es- 

 sere uguale ad alcuno di quelli che nascono dalla Q', perchè se si 

 volesse x^Q' i =Q'(n); avendosi già «*Q'i=Q'2,i si ritrarrebbe 

 Q'{n)=xQ'-2, il che nuovamente, per quanto si è detto di sopra , 

 è impossibile . Abbiasi pertanto «^Q'i =Q"ii . 



Col moltiplicare la solita Q'i per a"*, ne verrà il prodot- 

 to «''Q'i , il quale a ninna può uguagliarsi delle radici della 

 f"{Q — a) =iO : perchè se fosse ì:^Q' i =Q"[n) ; a cagione di Q"{n\ 

 = x Q'{n), si avrebbea''Q'i=«Q'(«) , e però Q'{n) = ^Q'i, il che si 

 è ora veduto non poter succedeie . Pongasi perciò a^Q'i -— Q'3. 



Proseguendo nella stessa maniera , si truova , che nessuno 

 dei prodotti «'Q'i, «''Q'i, <^^Q'i, ec. può essere uguale ad alcuna 

 delle radici della/'(Q — fì)=c , e nessuno degli altri «*Q'i, «.^Q'i, 

 a'°Q'i, ec. può uguagliare alcuna delle radici della /"(Q — a) = o, 

 e che perciò potremo sempre supporre a'Q'i ^Q"3 , «'Q'i = 

 Q"4, ^'Q' I = Q"5, ec. *'Q' i = Q'4, «'Q' 1 = Q'b , ec 



In conseguenza di questo tutte le radici della Q~° -4- Z* = si 

 comprenderanno nelle due serie. 



Q'a=:a'Q'i,Q3=«^Q',^Q'4=^*Q'i,Q'5=«8Q'i,ecQ'fe)=*''^^'~'^Q'l=*°^Q'n 

 Q'i = «Q'i, Q"a=z3Q'i, O 3=*5Q' . , Q"4=^.'Q i, ec. Q"(g)= «""^"'Q'' 

 contenendosi nella prima le radici della/ (Q- a) =0 , 

 e nella seconda le radici della/" ( Q — a ) = . 



Facciamo «*=|3, e nella «^° — t = o facciamo ii^ = l ; tale 

 Equazione diverrà tg — 1 = 0, e le qwantità ^ = «% f3* = «4 , 

 §i = x\ ec. (5° =r a:''^ saranno tutte le sue radici, perchè per la 

 natura della x ( it° 34. ) le «% «% «*, ec, «''=, e però le |3, |S% /S^ 5 



ec. 



