Di Paolo Ruffini. a47 



38 Posto nella Q" == R il valore R' invece di R, sia la Q'i 



( n- " 36 ) radice della Equazione Q^ = R' . Eseguiscasi tanto nella 

 Q' [ , come nella R' una delle permutazioni fra le x', x'\ ec. ^c'", e 

 siippoiighiamo , che per tale permutazione la R'sI conservì la me- 

 desima , e che la Q'i acquisti un valore diverso , che dirò Q'(a) . 

 In questa ipotesi io dico, che la quantità Q (a) sarà essa pure radi- 

 ce della Equazione Q^ = R' . 



Poiché per la generalità dell' Equazione (F) Paltra Q'i^=R 

 deve verificarsi indipendentemente da qualunque valore , e da 

 qualunque rapporto particolare fra le x' , x\ x"\ x'", x^y ne viene 

 che per tutte quelle permutazioni fra le stesse x\x'\ ec. x^ , sot- 

 to cui la funzione R' conserva il proprio valore , dovrà conservar- 

 lo eziandio la Q'i^; ma per la permutazione, onde dalla Q i pro- 

 ducesi la Q'{n) , la R' per la ipotesi non cambia valore; dunque 

 per la permutazione medesima non dovià cangiarlo neppure la 



Q'i° , e per conseguenza avremo Q'i^=: Q'^{u) , perchè questa 



Q'^(fl) essendo la potenza gesima della Q'{o), come la Q'i^ è la ge- 



siina della Q'i , è appunto quel risultato , che ottiensi dalla Q'i ^ 



per r indicata permutazione . Dunque avendosi Q'i^= R', sarà 



ancora Q'i^{a) = R' , e però la Q'(a) radice della Q' = R' . Dun- 

 que ec 



39. Neir esponente della Equazione R"^ H- 3 = o ( n.° 37) 

 deve essere il numero ; > 2 . 



i." Sia , se è possibile , ; — i . Esprimendosi da questo ì il 

 numero dei valori diversi, che per tutte le permutazioni frale 

 x\x\x"\x"',x'' provengono dalla K'=z:\'\y]{x" ][x"'){x'yx ) (n.°37), 

 ne segue , che net caso presente volendosi i= 1 . e però un solo 

 essendo il valore della R , essa R' per tutte le accennate permu- 

 tazioni si conserverà sempre la medesima , e sarà quindi una fun- 

 zione della forma <:>' ( ', x'\ x"\ x'\ j" ) ( n." 3. Teor. ). Dunque 

 conservando essa R'il proprio valore per tutte quelle permutazio- 

 ni , 



