3oo Saggio ec. 



valere questa Equazione a'/i — i = 2*/)* — a*/? + i -4- a*^* — 

 a*<7 -h I + a*/'' — 2,*r ~{~ 1 , dcL che nascerebbe a'« — a* = a* 

 {p^- p-\-(J^ — (7 + r^ — r), ossia dividendo}' Equazione per quat- 

 tro; 2/ì — 1 =/?* — p + (?* — q -V r^ — r . Ma/»* — p non può 

 essere che un nuaiero pari , e pari egualmente i numeri q* — ^ , 

 /■*—?", mentre a/i — ( è necessariamente un numero dispari. 

 Dunque non può verificarsi che i numeri della formola ù}n — i 

 siano spezzabili in tre soli quadrati . 



Le tre serie competenti alle tre formole de' numeri dispari 

 sopra esposti si dispongano nella maniera seguente 

 a." 3 II 19 a7 35 4'^ • • • ^''^ — ^ 



I." 1 5 9 i3 17 ai a5 ag 33 3? 4^ 4^ • • • ^^1^ — 3 

 3." 7 i5 28 3i 39 47 • • • ^^'^ — * 



ìMelIa disposizione figurata data aqueste tre serie si cominci dal 

 primo termine della prima , si salga al primo della seconda, si ri- 

 turni al secondo della prima, e si discenda sin al primo della ter- 

 za, coir istess' ordine prendendo il terzo della prima, il secondo 

 della seconda, il quarto della prima, e il secondo della terza , e 

 cosi di mano in mano andando avanti nei quattro numeri succes- 

 sivi delle tre serie, si viene a formare la serie; 1.3.5.7.9.1 i.i3.i5 

 ec , cioè la serie di tutti i numeii dispari , che si è fatto vedere 

 essere o quadrati , o spezzabili in due , o in tre , o al più in quat- 

 tro quadrati. Ciò però non esclude che alcuni di questi numeri 

 dispari non si possano spezzare in cinque, in sei ec. quadrati, ma 

 sen)])re , oquei cinque, o quei sei quadrati che formano un tal 

 numero, potranno essere ridotti al più a quattro quadrati, for- 

 manti in somma lo stesso numero . 



Dai numeri dispari facendo transito ai numeri pari-dispari ; 

 questi restau tutti compresi nella formola a'n — a; dalla qiial ri- 

 sulta la serie; a . 6 . io . 14 • 10 . aa . a6 ec. , fuor di questi 

 non ve n' ha alcuno, e son tutti spezzabili , conq^reso il zero in 

 tre quadrati , due dispari , e un jiari , non potendo essere uguali 

 a tre quadrati pari , e molto meno, a un dispari , e due pari , o a 

 tre dispari , come chiaramente si vede. Soggiungo ora la serie 

 corrispondente pei termini della superiore a tali spezzature 



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