Di GiANTRATuczsco BIalfatti . 3o3 



quadrato , anche quelli della forinola a'"^'".(i'/i— i) potranno es- 

 sere spezzati in tre quadrati . Ma se /« è numero pari , il molti- 

 plicatore 3'"^" è un quadrato e a'/i — i abbraccia i numeri che 

 vogliono la spezzatura di quattro quadrati; a tale spezzatura sa- 

 rau pur soggetti^ quei della formola a."^"'.{2^n—i). Altri quattro 

 quadrati pure degl' istessi numeri ai possono avere, cangiando 

 prima la formola equivalentemente così a"*. 4-^''" — 1 , ove i nu- 

 meri 4 i^^T—T divisi per quattro, lasciano un numero dispari di 

 quoziente , e però divisibile , in quattro quadrati dispari , 

 onde ciascun d' essi moltiplicato, per a" che è pur quadrato , ci 

 risulteranno altri quadrati diversi dai precedenti. Con una sol 

 formola perciò noi potremo raccogliere tutti quei numeri , i qua- 

 li ne son quadrati , né spezzabili, o in due , o in tre quadrati , e 

 non ricevono che la spezzatura di quattro. Questa è la formola 



a*'"~''.a*« — I , nella quale se m = i si ha la serie dei numeri dis- 

 pari 7.1.5 a3. ec. , e se m è qualunque altro numero , i quattro 

 quadrati che risultano, sono i quattro pari sopra mentovati . 

 Tutti gli altri numeri che si sottraggono da quest'ultima formo- 

 la, o son quadrati, o ammettono la spezzatura di due o di tre 

 quadrati . 



Suppongasi per esemplo cTie un Generale avendo nella sua 

 armala 4'5oo soldati, gli fosse opportuno, di dividerla in tre 

 Battaglioni o falangi quadrate, e chiedesse ai suoi ingegneri le 

 diverse maniere di ottenerle, per iscegli ere quella che fosse più al 

 caso per le sue viste Militari. L' ingegnere interrogato, prima di 

 tutto divide quante volte può il numero per quattro, e perii 

 presente trova che basta una sola divisione e ne trae il quo- 

 ziente 10875. Avanti di rintracciare questi quadrati cerca se 

 il quesito è possibile, e sottomette il quoziente alla formola che 

 esige i quattro quadrati. Per tal modo instituisce l'Equazione 

 a'n — I = 10370 ovvero a^«= 10376. Ma poiché 10376, è divi- 

 sibile per otto, cade que-to niimero sotto la necessaria spezza- 

 tura dei quattro quadrati , e non può perciò il proposto nume- 

 ro de' soldati essere di^iso in tre battaglioni quadrati. 



Un altro Generale che ha Sóooo uomini sotto il siw coman- 

 do 



