Di Gianfrancesco MalpaTTi . 3o5 



non v' essere alcun numero ^ che non essendo di per se quadrato 

 non possa spei^zarsi o in due , o in tre , o in quattro quadrati , 

 non sarà molto difficile la soluzione di questo problema. 



Dato qualunque numero, ritrovare un quadrato , che molti- 

 plicato per quel numero faccia un prodotto uguale a qual si vo- 

 glia numero di quadrati . La soluzione di questo problema non è 

 sempre possibile, e farem vedere quali sono le condizioni del da- 

 to numero, che ne rendono possibile la soluzione . 



Alla soluzione di questo problema generale ci faranng strada 

 i problemi subalterni, e più semplici, il piimo de'' quali è il se- 

 guente : dato im numero, trovare un quadrato, che moltiplicato 

 per quel numero, formi un prodotto eguale a due quadrati . Cer- 

 cheremo innanzi a tutto quale condizione è necessario che si ve- 

 rihchi in tal prodotto, affinchè rendasi possibile il problema. Sup- 

 pongo, con tutta la generalità, espresse cosi le radici de' due ri- 

 cercati quadrati; la prima, mp -{- nq; e la seconda jnq — np; nelle 

 quali dando gli opportuni valori, ai quattro siml^oli m^n.p.q^ po- 

 trò sempre avere due qualunque numeri intieri , un maggiore, e 

 r altro minore, essendo anche intieri i simboli componenti le 

 sudclette formole . Considerate queste come radici dei due qua- 

 drati , uguali a un dato numero , la somma di questi due quadra- 

 ti ci dà il risultato rn''-^n'' ./'^H-'/* 5 il quale mostra la forma che 

 deve avere questo numero affinchè sia possibile la sua spezzatura 

 in due quadrati . Deve perciò tal numero, essere divisibile in 

 due fattoli ciascun de' quali possa essere spezzato in due quadra- 

 ti . Ma siccome anche il zero può entrare nel numero di questi 

 quadrati , fatto per esempio (7 = o , il risultato si cangia in 

 wM^.y/ che dà eftettivamente due quadrati . Laonde per il pri- 

 mo problema proposto , di trovare , dato un numero , un quadra- 

 to che moltiplicato per il numero equivalga alla somma di due 

 quadrati, potendo rappresentare con/?* -\- q^ il quadrato richie- 

 sto, e con /«*-4-«* il dato numero, si rende necessario fuor del 

 caso di ^ = o, che il quadrato che si cerca possa essere spezzabi- 

 le in due quadrati , e cosi fuor del caso di « = o è j)ur necessario 

 che anche il numero proposto possa spezzarsi in due quadrati . 



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