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La conseguenza di questo discorso è che trovandosi nella serie dei 

 quadrati alcuni di essi spezzabili in due quadrati, e molti altri 

 non spezzabili che in tre, per esempio />*-|-^*4-?-*, avremo bensì 

 1 due quadrati ricercati dal problema, sostituendo invece dei tre 

 p' -h <7* -h r' r unico quadrato a cui essi sono uguali ; ma non po- 

 tremo aver nuove coppie di quadrati , ove si voglia fare entrare 

 in essi i simhoìi p, q, r. Al contrario poi se il quadrato ricer- 

 cato può essere spezzabile in altri due come/»*+ q^, non solo ab- 

 biamo i due quadrati dell' eguaglianza, quando si sostitiiisce in 

 "vece di^^ -h q^ il quadrato unico che loro è uguale , ma ci nasco- 

 "no altri quadrati, che traggono la loro origine da/? e da q^ che son 

 le radici dei primi . Poiché m^ -H n^ vien da noi considerato co- 

 •mt' il dato numero , si fa evidente, che se questo non fosse spez- 

 zabile che in Ire quadrati, e non in due, il problema sarebbe im- 

 possibile . Egli è dunque necessario per questo nostro problema 

 che il dato numero o sia quadrato , o spezzabile in due quadrati . 

 Sarà qulche volta facile il conoscere a un tratto che il dato nu- 

 mero è divisibile per 3, o per 7 o per 1 1 , che si sa non esser nu- 

 meri spezzabili in due quadrati, onde in tal caso se il numero è 

 di molte figure, siam liberati dalla pena del fastidioso mefodo 

 di cercare i quadrati prossimi, e possiam decidere sul momento 

 r impossibilità del problema . 



Ciò premesso il problema de' due quadrati, chiamatole il nu- 

 mero dato , si presenta algebraicamente con questa forma , 

 K«* =/>* -^ ^*? nella quale sono incogniti i simboli, n ^ p ^ q; a 

 perche K deve ammettere la sua spezzatura in due quadrati , 

 chiameremo questi due quadrati noti, a'' ,b^ , e sarà cangiata la 

 formola in quest'altra a^ n^ + b^ii^ •= p^ -\- q^ che disporremo 

 pure in quest' altro modo, a^ n^ ^ q^=Lp^ — b'' a^ . L'artifizio 

 semplice di cui mi valgo, per la soluzione di questo problema , 

 insieme con altri che verranno consecutivamente, consiste nel ri- 

 durre a rettangoli i binomj che sono in ambi i membri, intro- 

 ducendo de' nuovi simboli arbitrar] perla riduzione di tali mem- 

 bri ad eguali rettangoli . Esprimiamo pertanto il primo membro 



a/1* 



