Dr GlANFRANCEÌCO MALFATTI . SoQ 



quest' altro ; dato un numero dispari, trovare un quadrato dispa- 

 ri , che moltiplicato per tal numero dia un prodotto uguale a tre 

 quadrati . Considero quest'ultimo caso, e mi accingo a din)0- 

 strare die se il dato numero K non è S| ezzabile nò in due , nò 

 in tre quadrati , ma soltanto in quattro . il problema è impossi- 

 bile . Abbiamo sopra fatto vedere che fuor dei numeri compre- 

 si sotto la formola a^ra — I , i quali soli non son spezzabili nò in 

 due , nò in tre quadrati, tutti gli altri dispari lo sono ; ecco per- 

 tanto , la dimostrazione della impossibilità del problema, nel ca- 

 so che K sia un di quei numeri , compresi dalla formola 2^«— l . 

 La espressione algebraica del problema è K«*=/->'^-4-(7* + r'; e poi- 

 ché- , si K che n essendo numeri dispari, i quadrati />*, (7', ;* non 

 possono essere, che o tre dispaii , o ini disjiari, e due pari fatto 

 generalmente K = 2}$ — i , ii=zìtn — i , p~it — r , q-=.-ì.ii — f , 

 7-r=ar — I , rEquazione diviene a'/«'.s— a'w5-+ a^j— :i'«^-l-a*w— i 

 =2*i* — aV+i +-a^w* — 2*/i-}-i+aj^ — a 7-4-1 ; e portatele tre 

 unità di questo nell'altro membro nasce ii'in^s ^''ins \ )ì}s— 

 o^m.^ YO.^in—ùf = 4^' — 4'+ 4"* — ■47^-1-47^ — 4j ' e divisa f Equa- 

 zione per quattro , ^^m^s — ^*rns + a.5 — m^ -\- m — i = 

 t^ — t -\- II" — u +7* — /; ma il primo membro è necessaria- 

 mente un numero dispari , perchè i tre termini primi son molti- 

 plicati per a, i due avanti l'ultimo sono necessariamente un nu- 

 mero pari , anche quando m si supponga dispari . e 1' ultimo cioè 

 r unità è un dispari , mentre nell' altio membro ogni coppia 

 t^ — 1 1 a* — u -, y^ — y non può essei'e che un numero pari . Dun- 

 que è impossibile . che il suddetto sia uguale a tre quadrati dis- 

 pari . Non può nemmen essere uguale a un quadrato dispari . e 

 due pari ; imperciocché , fattoy7=2/ — 1 per il dispari , e q — 2.u^ 

 r=i/ per i due pari , l' Equazione diventa a'///.f — aV??54a'.>— - 

 a^'w' + %''m — ;=4 * - 4^^"^ ' ^ 4''*'^4y^ - ^ trasferita 1' unità di 

 quest' ultimo membro nel primo, abbiamo a'///*i- — a'wjH-a*j 

 — 2*772* -+- a*/;2 — a = 4^ 4'^ "^ 4''^ "+" 4/* > ove si vede che 

 il primo membro è necessariamente un numero pari-dispari 

 mentre l'altro è un numero pari-pari i e con ciò resta uni ver- 

 sai- 



