Di Paolo Ruffini . 333 



m = — ^ a*, jp = j/ a" , ^y r= o, ra = |/ a' . 

 Ora sostituendo nelle (II) i valori delle /?;, n,p, q , che sono&I ot- 

 tenuti in ciascuno degli esposti casi, sempre ne risultano i valori 

 (XI) . Dunque la soluzione deU'.Equazione data si ha egualmento^ 

 qualunque delle w, «,/>, q uguagliasi allo zero , mentre però, al- 

 lorquando ponesi w, od rt =o, facciasi /■= — ^, e quando poiicsi 

 p, ovvero 7 = 0, si faccia /• = 4 • 



Onde determinare la ragione di questo fenomeno, chiamo , 

 per brevità di scrivere, P' il primo dei valori (XI), P' il secondo , 

 ^ ec. , ed osservo, che ad eccezione della a;", la qual sola rappresen- 

 ta un' espressione delle m, n., p, q mancante della/, cioè la ot H- 

 /> -t- 7 -f- « ( n.° 1 ), le altre lettere x',x",x"\ x" per la forma de' 

 valori (II) sono tutte tali, che da ciascuna delle medesime cias- 

 cheduna può esprimersi delle radici P', P", P'", P" . Dunque, ri- * 

 tenute le supposizioni del ( n." i ) , se vogliamo, che la x' rappre- 

 senti la prima radice P', allora avremo m = o;ma se si vuole , che 

 questa prima radice venga rappresentata dalla x" , o dalla x" , o 

 dalla v'" ; in tali casi , mancando in essa P' il termine^ nel quale 

 la supposta/è alla potenza prima, dovrà come apparisce dalle 

 (II) essere rispettivamente q =: e , ovvero p= o , ovvero n = o; 

 e per conseguenza ciascuna di queste supposizioni dovrà poterci 

 somministrare la soluzion delta data . 



Passando alla considerazione della r, comincio dall' osserva- 

 re , che ponendo nella (VI) i valori P', P"^ P'", P'", P" delle radi- 

 ci j esse (VI) divengono 



m = - (f'P' +pP"-\-f '?'"-{'/?"'-}-?'') : 5, 



(XII) P =-{fr'+fP'^f^F^+fr^--p^) : 5 , 



^ «7=-(/''P"-l-/3P"'-f/'P'4-/P'"-+P") : 5, 



ma per la forma delle (I!) 



quando //.=o, esser deve F=x\V"=x",V"'=x"' ,?'"=x'\?''=x'" , 

 quando /?=o, esser deve P — r'" P"=Ar"',P"=a;",P' =z' ,P"=x' , 

 quando^=o , esser deve P'z=.i"' .F'=x',V"=x"", P'^=z",P''=x'' , 

 e quando ^=0, esser deve P=^",P"=^'",P' '=x\P'^=x"', P^=x% 



Dan- 



