Del Sic Paolo Ruffini . 9 



osservare il numero delle cifre solamente dell'ultimo termi- 

 ne , per determinare il numero delle cifre , che si contengo- 

 no nella rispettiva potenza del 5 . 



a. Dicasi a il numero delle cifre, che esistono nella po- 

 tenza $p , e siano di numero x le cifre esistenti in a?; si 

 avrà x=p — a+i . Di fatti avendosi 5^>io a— ' , ed insieme 

 <io% e 2/> io 1-1 , ed insieme <io*, sarà 2^X^> io a -*- x — % 

 ed insieme < io <! - + - r . Ora abbiamo 2^X 5^ = ( 2 . 5)^ = ic^ . 

 Dunque sarà 10^ una quantità compresa tra le due io" -t - r— 2 , 

 io a " l " x , e per conseguenza p sarà un intero compreso tra i 

 due fl-H.r — 2, a-t-x; ma tra questi due numeri non vi è 

 compreso altro intero, che a-i-x — 1 . Dunque dovendo esse- 

 re a-ì-x — i=p, ne verrà x = p — a-1-1 . Pertanto, cono- 

 sciuto il numero a delle cifre esistenti in $P , e conosciuto 

 l'esponente/?, conosceremo tosto in p — a -+- 1 , il numero 

 delle cifre che esistono nella potenza 2.P . 



3.° Inoltre si ha i\.p = 2.P . q.p ; ma supposto/? — «-H- 1=6, 

 per la natura della moltiplicazione le cifre nel prodotto 2.P.2.P 

 sono di numero 26 — 1 , oppure 26 . Dunque nella potenza 

 4 P si conterranno 2 (p — a ) -f- 1 , oppure 2 (p — o) + a cifre . 



4-° Sia e il numero delle cifre, che si contengono in ÀP ': 

 il numero di quelle , che si contengono in 8^ = \p . a? sarà 

 c-+-b — 1 , ovvero c-hb; ma, sostituiti in vece delle b , e i 

 valori corrispondenti , si ottengono i tre risultati 3(o — #)-+-i, 

 3 (p — fl)+a, 3(p — a)n-3. Dunque da uno di questi tre 

 risultati verrà sempre determinato il numero delle cifre, che 

 esistono nella potenza 8^ . 



5.° Chiamisi e il numero delle cifre, che esistono in o/, 

 ed x il numero delle esistenti in 3^. Avendosi o/ = 3^. 3^; 

 il numero delle cifre in 9/ sarà ancora 2.x , oppure nx — 1; 

 poiché adunque si ha 2,x = e, oppure nx — 1 =e, risulterà 



x = — s ovvero x = ; ma tanto x , come e devono essere 



a a 



numeri intieri: dunque quando e è numero pari, sarà x = — , 



a 



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