Del Sic. Pietro P.,oi.i . io5 



più generalmente per determinare tutte l'equazioni primitive 

 senza differenziali , non esclusa la primitiva completa quando 

 può aver luogo, le quali soddisfanno aiPequazioni differen- 

 ziali date. Un tal metodo forma l'oggetto di questa memo- 

 ria; ma prima di esporlo comincierò dal fare alcune riflessio- 

 ni sopra l'equazioni differenziali del prim' ordine, le quali 

 non soddisfanno alle condizioni d'integrabilità, affine di ben 

 distinguere la natura delle diverse specie di soluzioni, e la 

 loro dipendenza da quel sistema composto di più equazioni 

 simultanee, che dal Sig. Conte Monge vien chiamato l'inte- 

 grale completo di questa sorta di equazioni differenziali . 



i. È noto che l'equazione differenziale tra tre variabili 

 _ te te 



" te p q te ' 



la quale non soddisfa alla condizione d' integrabilità, non ha 

 equazione primitiva completa, finché si riguardano le varia- 

 bili x ed y come tra loro indipendenti, e la z come funzio- 

 ne di x ed y . Ma se si suppone una relazione qualunque tra 

 x ed j, si potrà soddisfare alla proposta in infiniti modi, ed 

 il sistema formato da due equazioni, che gli comprende tut- 

 ti, si chiama il suo integrale completo. I! Sig. Monge ed io 

 abbiamo dati varj metodi per la ricerca di questo integrale 

 completo richiamandola all'integrazione dell'equazioni tra due 

 sole variabili : tutti questi metodi possono ridursi al se^uen- 

 te . Supponghiamo y costante, e sia M il fattore che in que- 

 sta ipotesi rende esatta la differenziale I — p I \x , in 



do che sia f^l~ P ) o\x = N ; ed avremo per una dell' 



equazioni integrali della proposta 



o = Nh-F.j, 

 ove F .y è una funzione arbitraria di y , perchè y è stata sup- 

 posta costante. Per trovare la seconda equazione, che insie- 

 me con la prima soddisfa alla proposta, prendiamo il diffe- 

 renziale della prima facendo variare x ed j, ed avremo 

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