Del Sic. Pietro Paoli. 107 



x ed y.j contuttociò può accadere che dandosi un valore con- 

 veniente alla funzione F.j essa sia verificata indipendente- 

 mente da x, in modo che i termini che contengono x e quei 

 che non la contengono si annullino separatamente . In que- 

 sto caso sostituendo il valore trovato di F .7 le due equazio- 

 ni (a) si ridurranno ad una sola, ed avremo un integrale del- 

 la proposta espresso da una sola equazione , ma questa non 

 conterrà costante arbitraria , perchè per ipotesi la proposta 

 non ammette un integrale di questa forma . 

 Sia data per esempio l' equazione 



0= |L_ ,_!/(*_* _ 7 )_ (l -H X _ ar )|l 



0\ x (TV* 



la quale non soddisfa alla condizione d'integrabilità. Suppo- 

 sta y costante la differenziale/— 1 — \/z — x — j|3\xdi- 



venta esatta essendo moltiplicata per , ed il suo 



integrale è ai/(z — x—y) — x. Abbiamo adunque M= , 



N = 2|/ / (z — x — y) — x, e l'integrale completo è dato dalle 

 due equazioni simultanee 



o = 2,[/( z — x — y ) — x -+- F . y 



o = [/( z — x — / ) . — x -+- 2/ . 



Eliminandone z avremo l'equazione 



a p 



O = ( X — F . / ) -j ax -+- 4/ • 



Se la ponghiamo sotto la forma 



è evidente che possiamo farne sparire la x ponendo = 2,, 



cioè F.j = 2y-+-c, e che il medesimo valore soddisfa al ri- 

 manente dell'equazione purché si prenda la costante arbitra- 

 ria e = . Dunque facendo F./ = ay, le due equazioni in- 

 tegrali si riducono alla medesima equazione 



