io8 Sopra l'Equazioni Primitive ec. 



o = -2i/( z — x — y ) — x •+- -2/ , 

 e perciò esiste un integrale particolare espresso da una sola 

 equazione, il quale soddisfa alla proposta, e questo integra- 

 le particolare è compreso nell'integrale completo, e se ne 

 deduce dando i! valore determinato a/ alla funzione arbitra- 

 ria F . y . 



3. L'equazione differenziale 



te P " q te 

 non ha una equazione primitiva completa, quando la condi- 

 zione 



non è identica indipendentemente da una relazione qualun- 

 que tra le variabili x, y e z. Ma se non essendo identica, 

 soddisfa però all'equazione differenziale, in questo caso ne è 

 un integrale ma particolare, perchè non ha costante arbitra- 

 ria, o piuttosto non ne è propriamente che una soluzione 

 particolare , perchè la proposta non ha equazione primitiva 

 completa. Nell'esempio precedente la condizione d'integra- 

 bilità diventa 



[a,]/{z — x —y ) — x -+- ay ] , 



2\/(z — x—y) 



e ci dà quella medesima relazione, che abbiamo trovato es- 

 ser compresa nell'integrale completo formato da due equa- 

 zioni. Lo stesso accade in molti altri casi, e ci fa conoscere 

 l'origine di queste relazioni particolari, e la loro dipenden- 

 za dall'integrale completo. Perchè abbiamo veduto che esse 

 hanno luogo , quando per un conveniente valor determinato 

 della funzione arbitraria le due equazioni integrali si riduco- 

 no ad una sola , cioè quando divengono affatto simili . 



4- Accade contuttociò qualche volta , che la condizione 

 d'integrabilità dia una relazione soddisfeciente all'equazione 

 differenziale, che non sia compresa nel suo integrale comple- 

 to . Così per l' equazione 



