Del Sig . Pietro Paoli . i og 



la condizione d'integrabilità 



o = - \V [z* — x* — y*) 



yz v 



ci dà la relazione z 3 — x 1 — / 2 = o, la quale verifica la pro- 

 posta. Se adesso cerchiamo l'integrale completo, lo trovere- 

 mo espresso dalle due equazioni simultanee 



o = 3 J/^( a 2 — x a —y % Y — x* -+- aF . y 



e si vede facilmente che non è possibile di dare un valore 

 determinato alla funzione F./, in modo che le due equazio- 

 ni integrali si riducano ad una sola . Dunque la soluzione 

 2* — .r a — y % = o annunziata dalla condizione d'integrabilità 

 non è compresa nell'integrale completo. 



Se integrando la proposta in luogo di y si supponesse x 

 costante , si avrebbe il medesimo integrale espresso in altro 

 modo dalle due equazioni 



o = z 2 — x % -+- y % f . x 



le quali posta f.x = — 1 si riducono all'equazione unica 

 z a — x 2 — y 2 =c annunziata dalla condizione d'integrabilità. 

 Sembra dunque che l'integrale (b) sia più generale dell'integra- 

 le (a), in quanto il primo contiene la soluzione z a — x z — jK a =o, 

 che non è compresa nel secondo . Ma si potrà dedurre la me- 

 desima soluzione anche dall'integrale (a) col seguente ragio- 

 namento . 



L'equazione 



o = -^l _ *['-♦- t>( zJ -* a -y')] 



nella ipotesi di y costante ha per integrale completo 



o = 3 \/ /r { z* — x 2 — 7 a ) % — x* ■+- 2F .7 

 ove F.y rappresenta la costante arbitraria. Siccome l'equa- 



