Del Sig. Pietro Paoli . 1 1 i 



te dalle condizioni d'integrabilità. Il Sig. Laplace nelle sue 

 ricerche sulle soluzioni particolari pubblicate tra le Memorie 

 dell'Accademia delle Scienze di Parigi dell'anno 1772, dimo- 

 strò che questa regola non era generale coli' esempio dell'e- 

 quazione 



0=^-1 -^{z-x-yly^a^z.x.yyb^z.x-yM , ^(z-x-y)] . g 



alla quale soddisfa l'equazione z — x — y = o, quantunque la 

 condizione d' integrabilità non ne dia alcuno indizio . Quando 

 questo caso ha luogo, ciascuna delle forme dell'integrale com- 

 pleto non conterrà la soluzione soddisfacente, ma bisognerà 

 dedurla da esse in forma di soluzione particolare, come di- 

 mostreremo in seguito . Intanto per darne un esempio ripi- 

 gliamo l'equazione del Sig. Laplace 



ove per più semplicità ho posto (X in luogo di z — x — y. 

 L'integrale completo di questa equazione sarà rappresentato 

 dall'uno o dall'altro dei sistemi seguenti 



r &» 



o = / - — — - — ; — s — 7 — x -+■ F . y 



{ o = JlJL — xy -+-f . x 



Niuno di questi sistemi comprende come integrale particola- 

 re l'equazione ^ = 0, che si deduce però dal primo median- 



te l'equazione — ^- = 0, o dal secondo per mezzo della equa- 

 /ione -^— = o . 



7. Vediamo adesso da che dipenda, che l'equazioni pri- 

 mitive soddisfacenti all'equazione differenziale o = -^-—p—q—?- 



