Del Sic Pietro Paoli. ii3 



forme (a) e (b) dell'integrale completo . Se n è uguale o mag- 

 gior dell'unità, ma n' < i , la soluzione (jl = o sarà un inte- 

 si- 



graie particolare di = *- p , ed una soluzione particolare 



4 Z 



di o = — — q ; perciò essa sarà contenuta nella forma (a) ma 



non nella forma (b) . Finalmente se n ed ri sono ambedue 



<i z a z 



<i, (jlz=zo sarà soluzione particolare di o=- p, e o=^- — q, 



e non sarà compresa né nell'una né nell'altra forma dell'in- 

 tegrale completo. Quest'ultimo caso avrà sempre luogo, quan- 

 do l'equazione ,u=:o non è data dalla condizione d'integra- 

 bilità. Poiché il Sig. Laplace ha dimostrato che la condizio- 

 ne d'integrabilità comprenderà sempre la soluzione (i — o 

 quando ciascuno dei due numeri n ed «' è = o > 1 ; ma col 

 medesimo ragionamento si può provare, che affinchè ciò suc- 

 ceda basta che la somma dei due numeri n ed ri' sia mastio- 

 re dell'unità . Per conseguenza quando l'equazione (i = o non 

 sarà annunziata dalla condizione d'integrabilità, bisognerà che 

 ciascuno dei due numeri ìl ed rC sia < 1 , e saremo perciò 

 nell'ultimo dei casi contemplati. 



Non è però necessario che si conosca l'integrale comple- 

 to composto di due equazioni per trovare le relazioni singo- 



lari, che sole soddisfanno alla proposta o = p — q — f 



poiché dalle riflessioni precedenti apparisce, che quest'equa- 

 zioni singolari saranno per lo più comprese in quella, che 

 rappresenta la condizione d'integrabilità, e se mai n'esiste 



alcuna che non vi sia contenuta, questa sarà soluzione par- 



a z a z 

 ticolare di ciascuna dell'equazioni o=-r-- — P, = n. 



ove y ed x sono respettivamente riguardate come costanti , e 

 potremo ottenerla cercando con i metodi conosciuti le solu- 

 zioni particolari, che sono comuni a quelle due equazioni. 

 8. Passiamo all'equazione tra quattro variabili 

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