Del Sic. Pietro Paoli. uy 



M ,- #J ^- : ^t,(^)^tl)Hf)-,(l) 



Ora se la somma di due qualunque dei numeri n, ri, n" sa- 

 rà maggiore dell'unità, queste tre equazioni saranno soddis- 

 fatte da [i — o. Infatti le quantità h, ti, ti' svolte in una 

 serie ascendente per le potenze di y, avranno la forma 



h = H -4- Hy -i- H>" -+- ec. 

 ove H, H' , ec. sono funzioni di x,y ed u, e gli esponenti 

 i , /' , ec. tutti positivi e crescenti. Onde apparisce che tan- 

 to le quantità h , ti , h" , quanto i loro differenziali presi pet- 

 i-apporto ad x,y ed u non diventano infiniti quando ^i = o, 



e quindi i termini http*-*-* 1 — *, ("^") ^*» ("|" j ***» ed i cor " 

 rispondenti nelle altre equazioni si annulleranno allorché £i=o. 

 Ma il termine per esempio (-— ) potrà nel medesimo caso di- 

 venire infinito se j< i , perchè riescirà moltiplicato per (l*~* 9 

 ove l'esponente i — i è negativo; contuttociò il prodotto di 



i — -I per n"-*"' conterrà la potenza y J n -*- n '-*-'— t , ove l'esponen- 

 te sarà positivo a motivo di n -+- ti > i . Pertanto anche il 

 termine ^ n -* _n i hi — -I — ti l II, ed i corrispondenti nelle 



altre equazioni svaniranno nel caso di (i = o , e le tre con- 

 dizioni d'integrabilità si uniranno tutte ad indicarci la solu- 

 zione (i = o . 



Quando adunque la proposta ammetterà una soluzione 

 particolare (i = o , la quale non venga indicata dalle condi- 

 zioni d'integrabilità, bisognerà che la somma di due dei nu- 

 meri n, ti, n" sia eguale o minore dell'unità, e tanto più 

 ciascuno di essi <i . Perciò l'equazione (i = o sarà una soluzio- 



ne particolare di due dell'equazioni o == — />,o = - q, 



© = — r, e questa si troverà se con i metodi conosciuti 



