Del Sic. Pietro Paoli. iiq 



sima , e questa equazione unica sarà la primitiva completa 

 della proposta . Ciò posto se /i = oè un integrale particolare 



di ambedue l'equazioni o = p , e o= — q , dando 



dei valori determinati alle funzioni <p . y e ipx le due equa- 

 zioni F(x,y,z,(j).y) = o,f(x,y,z,ip.x)=:osi ridurran- 

 no alla medesima p = o , e perciò questi valori determinati 

 saranno compresi in quei più generali, i quali somministrano 

 la primitiva completa. Dunque ^i = o sarà un caso particola- 

 re dell'equazione primitiva completa, cioè sarà un integrale 

 particolare della proposta . Viceversa se fi = o è una soluzio- 

 ne particolare della proposta, non potrà essere integrale par- 



Xz Xz 



ticolare di ambedue l'equazioni o = — p, o = — - — q, ma 



dovrà essere soluzione particolare di una almeno di esse. Dun- 

 que cercando con le regole note le soluzioni particolari di que- 

 ste , che sono tra due sole variabili, troveremo le soluzioni 

 particolari della proposta . E facile estendere il medesimo ra- 

 gionamento all'equazioni del prim' ordine tra un numero qua- 

 lunque di variabili . 



Le riflessioni precedenti mentre rendono evidente la con- 

 nessione e dipendenza, che esiste tra l'equazioni primiti- 

 ve singolari dell'equazioni differenziali del prim' ordine non 

 soddisfacienti alle condizioni d'integrabilità, ed il loro inte- 

 grale completo espresso in due o più equazioni, nel medesi- 

 mo tempo ci somministrano il modo di ritrovare tutte quest' 

 equazioni singolari . Sot+o questo punto di vista esse non pre- 

 sentano nulla di nuovo, poiché il Sig. Laplace ha già inse- 

 gnato a trovare in qualunque caso le soluzioni particolari del- 



la equazione o = — - p — q -^— . E quantunque egìi non ab- 



bia estesi i suoi ragionamenti all'equazioni, che contengono 

 più di tre variabili, l'applicazione n'è così ovvia, che a lui 

 deve attribuirsi tutto il merito di questa ricerca . Ma quan- 

 do si passa a cercare le soluzioni particolari dell' equazioni 



