i3a Sopra l'Equazioni Piumitive ec. 



e per conseguenza alla proposta , e la ricerca di tale equa- 

 zione primitiva dipenderà, come abbiamo veduto, dalla inte- 

 grazione di equazioni tra due sole variabili . 



Ma quantunque la proposta non ammetta una primitiva 

 completa, potrà però esser soddisfatta da altre relazioni me- 

 no generali . Supponghiamo die le condizioni (b) e (e) o una 

 di esse non siano identiche . Nella equazione (3") dopo l'eli- 

 minazione di z rimarrà tuttavia quella tra le variabili x o y, 

 che corrisponde alla condizione non identica. Quindi l'equa- 

 zione (3") non ci darà il valore di <p . u con una costante ar- 

 bitraria , ma alcune volte potrà soddisfarvi un valore meno 

 generale di <p . u indipendentemente da so o da y . In questo 

 caso il medesimo valore di <p . u soddisfarà ancora alla deri- 

 vata della equazione (3 ") presa relativamente ad x o ad y . 

 Ma una tal derivata è la stessa che la condizione non iden- 

 tica ; dunque la condizione non identica ci darà il valore par- 

 ticolare di <p . u dopo l'eliminazione di z, e prima della eli- 

 minazione avrà per fattore l'equazione P — <p.u = o. 



In questo medesimo caso si deduca dalla soluzione par- 

 ticolare P — (p . n — o il valore corrispondente di ip (y, u) \ 

 esso soddisfarà all'equazione (2,') quando la condizione (a) è 

 identica, perchè è compreso nell'integrale completo della me- 

 desima equazione (2.') . Ma se la condizione (a) non è identi- 

 ca , la x rimarrà nella equazione (a') dopo l'eliminazione di 

 z , ed il valore trovato di ìp(y,u) non potrà verificarla che 

 indipendentemente da x . Dunque in vigore del solito ragio- 

 namento la soluzione particolare N — ip(y , u) = c equivalen- 

 te a P — <p.u-=-o sarà fattore della condizione (a). 



Dalle precedenti riflessioni si può concludere in genera- 

 le, che tali relazioni singolari soddisfacenti alla proposta man- 

 cante della primitiva completa saranno sempre comprese in 

 tutte le condizioni non identiche , ed al loro ritrovamento 

 basterà la discussione dei fattori comuni alle condizioni non 

 identiche, i quali soddisfanno alle tre equazioni (1), (a), 

 e (3). 



