Del Sic. Pietro Paoli . 187 



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cherà l'equazione primitiva della (4) ■> e siccome x vi è ri- 

 guardata come costante, l'equazione primitiva, di cui si trat- 

 ta, conterrà una funzione arbitraria di x che chiameremo ip .x. 

 Sostituendo il valore, che ci dà la predetta primitiva, nella 

 (a') ne dedurremo il valore di ip . x , il qual essendo deter- 

 minato da una equazione differenziale del prim' ordine non 

 potrà contenere che una costante arbitraria , Se adunque la 

 proposta ammette una primitiva completa, si dovrà determi- 

 nare il valore di ip . x dalla equazione (t), che essendo dif- 

 ferenziale del second' ordine potrà darcelo con due costanti 

 indeterminate . Ma questo valore di ip . x non potendo nella 

 sua generalità soddisfare all'equazione (a'), la quale deve pu- 

 re aver luogo, bisognerà che in questo caso l'equazione (2/) 



sussista indipendentemente dal valore di I — — 1 . Avremo dun- 



1 V te 1 



que le nuove condizioni 



(e, o = (£±), (..) o=C-AB-.(£). 



La seconda determina il coefficiente C, la prima paragonata 



con la condizione (a) ci dà = 1 1, e per conseguenza ci 



V te ì 



avverte che A non deve contenere né y né z , ma esser sem- 



plicemente funzione di x . 



2.0. Ciò posto l'equazione primitiva della (4) sarà 



z -+- ky — ip . x . 



a ti / te \ te te <fc* a W &*a , 



Se ne deduce I- — ) = — y - — , - — = ^_L — y— — , e do- 



\ te / te te te' te* J te* 



pò la sostituzione di questi valori l'equazione (1) diventa 



te* te \ te te* ì 



Acciò questa equazione possa essere completamente integra- 

 ta , bisogna che la sostituzione di tp . x — A/ in luogo di z 

 ne faccia sparire la / , in modo che non vi rimangano altre 

 variabili che x e ip . x . È dunque necessario che sia in tal 

 caso 



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