Del Sic Pietro Paoli. i3g 



oppure sotto un'altra forma chiamando M il numeratore ed 

 N il denominatore della frazione precedente 



« °= N (fH N (fMt;V M (f)- 



M 



2.2. Se la funzione — dopo la sostituzione del valore di 



N 



z contiene tuttavia j, cioè se l'equazione (g) non è identica, 

 succede alcune volte clie si possa soddisfare all' equazione 



1 = o con un valore di ih , il quale renda nulli sepa- 



te N r 



ratamente i termini che contengono /, e quei che non la 

 contengono. In questo caso 1' equazione che si ottiene col 



prender le funzioni derivate dall'equazione h — =o re- 

 lativamente ad /, cioè l'equazione (g) deve aver luogo. Se 

 il valore di ip , che ci dà, soddisfa ancora all'equazione (l'i; 

 ci somministrerà una soluzione della proposta ma molto par- 

 ticolare, pei'chè non conterrà alcuna costante arbitraria. È evi- 

 dente che questa soluzione sarà fattore della condizione (g). 

 Per illustrare con esempj questi differenti casi conside- 

 riamo in primo luogo l'equazione 



O = — - -I- .T 2 — H Sx H 



&x> &x* x te te x» 



Le condizioni (a) , (e) , (d) , (e), (f) sono tutte identiche; dun- 

 que la proposta ha l'equazione primitiva completa z-*-x*y=ip. x, 

 e ip . x è determinata dall' equazione 



te' x te *»■ 



la quale ci dà \\> = x ( c-H 6 log. a; ) , e e e essendo due costan- 

 ti indeterminate; e quindi z-k-x' J, y=x (c-+- c'iog.x) . 

 Sia data in secondo luogo Y equazione 



-t- ( 2,x — 3x* ) y"> — 3j 3 z-t-(2, — 4-s— 3x 2 )/ — Sz . 

 L'equazioni (a), (e) e (d) sono identiche, ma le (e) ed (f) non 



