Del Sic. Antonio Bordoni . aai 



Eliminando sen. | x da queste due equazioni, si ha 



COS.^x-t-, COS.^sh-jH cos. § r =o; 



ed eliminando cos. | T , si ottiene 



sen . § xH - a sen . ^h-i h sen . £* = o , 



*x *x 



equazione la quale contenendo la funzione sen.| r , come l'an- 

 tecedente contiene cos. % x , c'insegna, che i valori cercati 

 delle due funzioni sen.| x , cos.£ x sono due integrali partico- 

 lari di una medesima equazione del secondo ordine delle dif- 

 ferenze finite , cioè della equazione lineare seguente 



sen.(», + a I+I ) sen.a r -t-i 



y x ^ ! ±_ /x ^ lH 7x = o. 



sen. a» sen. a, 



Ad ottenere l'integrale di questa equazione di secondo 

 ordine, e da cui dipendono attualmente le espressioni o for- 

 mole dimandate delle due funzioni sen.| x , cos. % x , si userà 

 la regola generale, ormai notissima, colla quale s'integrano 

 le equazioni lineari del secondo ordine delle difFere ,n ^c rini- 

 te, vale a dire la regola, che dal suo autore, io dirò Bru- 

 nacciana . 



Corollario i. Se tutti gli archi a , a, , a 2 , . . . . , a n 

 fossero tra loro eguali , la equazione superiormente esposta 

 diventerebbe 



yz+z — 2C/.+, -+- y x = e , 

 la quale, avendo i coefficienti costanti, è anche integrabile 

 colla supposizione di y x = Au x , colla quale s'integrano tutte 

 le equazioni di questa natura (§.4-5), ed integrata, dà 



y x = A (cos.a-H^/ — i sen.a) x -H A'(co§.a — j/ — i sen.a) x -, 

 cioè determinando opportunamente le due costanti arbitrarie 

 A , A', hassi 



( r"s. a-f-i/ — i sen. a )* — (cos. a — jX — i sen. a)' 



sen . xa = • 



cos. xa=. 



2j/— I 



( cps. a-t-|/ — i sen. a )' -<-(cos. a — [/ — > i sen. a) 1 



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che sono le notissime formole Bernulliane . 



