Del Sic Pietro Franchini . a83 



54 5 5.i3 4 3.o 



_. — — I _i_ -i-- 



7.ii(i,o5) 11(1, o5) a n.ai(i,o5) 3 ai(i,o5) 4 n.ai(i,o5) 5 



— 1 = 1 ,6i3g . 



11 .21 ( 1 ,o5) 6 n.ai(i,o5) 7 



La solita proporzione 1 ; r ; ; U ; U' dà uno de' termini 

 r, U' . Supponendo per esempio U'rsioo''- e le due vite da- 

 te una di 86, l'altra di go anni si ha 



1 '.r'.'. 1,6139: 100, cioè r = — — = 6 1 , 96 1 "■ . 



1,6139 



7. Problema. Dato il valore di due viteÀ,B, si diman- 

 da quello di un'annua rendita di i.**- nell'ipotesi che la ren«- 

 dita debba pagarsi finché una delle vite sussiste . 



Soluzione. Sieno a, b le respettive probabilità che le vi- 

 te A , B hanno di esistere per lo spazio di un anno . Sicco- 

 me ( 1 — a ) ( 1 — b) è ( 5- i- n.° II ) la probabilità che le vi- 

 te A , B hanno di cessare in un anno, 1 — (i — «)(i — b) 

 esprime la probabilità contraria, cioè che non cessino ambe- 

 due in un anno. Così se a', b' , rappresentano le respettive 

 probabilità che A, B, hanno di durare pel secondo anno, 

 i — (1 — a')(i — b') è la probabilità che entrambe non ces- 

 sino nel secondo anno, ec. Dunque 



1 (i_ a )(,_J) , (,_«')(,_&') j (!_«") ( t _y) 



— ; (-— 1~— ec. ossia 



h h h* A» h* h l 



a a' a" b b' b" ( ab a'V a"b" 



— H 1 — r ec. -f- — n 1 — - ec. — 1 — 1 1 ec. 



h h' h ì h h> A 3 l h h* h 3 



rappresenta la somma de' valori dell'annua rendita di i 1 *- da 

 pagarsi al termine degli anni 1 .° , a,°, 3.° ec. Essa costitui- 

 sce per conseguenza il total valore dell'annua rendita suddet- 

 ta sulla più lunga delle vite A, B, e però si ha l'equazione 



tt ad a" b V b" (ab a'V a"b" \ 



U= — H h — ec.H 1 1 — -ec- 1 1 -ec.)....(d). 



Introducendo nel calcolo una terza vita C, la cui pro- 

 babilità di vivere 1,2, 3 ec. anni sia respettivamente e, e', 

 e" ec. si trova che il valore dell'annua rendita di i n - sulla 

 più lunga delle vite A, B, G, vien espressa per 



