44^ Sopra alcuni punti di Matematica Superiore . 



e indeterminate. Avressimo pertanto f(x -«')— j/ / (r)=i m-, -"K~ I P, 

 quantità essenzialmente immaginaria, ciò, che è assurdo, al- 

 meno quando f(x) non sia essa stessa immaginaria. 



Siay(or) immaginaria, e supponiamo, che in questo ca- 

 so risulti /(x-hi)-f(x) -+■ i m - ( -"l/—.P; e quindi /( *~ f ; ;) ~ /( * ) 



2™.P 



= i"l/ — l . Qui il primo membro dovrà essere immaginario, 

 altrimenti avressimo l'assurdo precedente. Avremo dunque 

 un'equazione della forma A -+- B|/ — i =i"l/— r . Ma di qui 



seguirebbe (Ah-Bj/— i)l/ _ '=;— ra , oppure — - — Iog.(A-f-Bi/ — *) 



= Iog.i, cioè l'assurdo ancora dell'uguaglianza di una quan- 

 tità immaginaria ed una reale. E dunque impossibile, che 

 risulti immaginario l'esponente h nella forinola f(x-t-i) 

 =/(*)-HÌ A .P. 



Supponiamo adesso h = ~ , cioè uguale ad una frazione rea- 



m 



n 



le, e positiva . Nell'equivalenza f(x-ì-i)=f(x)-ì-i~P il fattore 



n 



i" avrà per ciascun valore, che ci piacerà dare all'indetermina- 

 ta i un numero m di valori. Ora dico, che ciò è impossibile. 

 Prima di tutto la funzione P per le condizioni già prescrit- 

 te sarà della forma p -+- i k .Q , p essendo funzione indipenden- 



n 



te da i, k un esponente positivo, e la quantità i'" . Presterà 

 dopo la moltiplicazione una funzione multiforme in riguardo 

 ad i almeno del grado m . Di qui siegue , che la funzione 

 f(x),e quindi anche f(x-ì-i) saranno radicali del grado stes- 



TI 



so . Perciò nell' equazione f( x •+- i ) ==/( x ) -+- ì m P ciascuno de- 



n 



gli m valori del termine i m . P dovrà combinarsi con un da- 

 to soltanto, e non con uno qualunque degli altrettanti va- 

 lori di /( x ) , e di f( x ■+- i ) . 



Ciò posto, o si vuole m numero pari, o dispari. Se è 

 pari —nr, s'immagini un valore di i negativo = — ì tale, 



che 



